直角三角形计算器 | 计算边和角

什么是直角三角形？

定义直角三角形及其组成部分。
毕达哥拉斯定理的基础作用。
三角函数比值（SOH-CAH-TOA）简介。

直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。直角对边称为斜边，是最长的边。其余两边称为直角边。

毕达哥拉斯定理

三边关系由著名的毕达哥拉斯定理描述：a² + b² = c²。其中a、b为直角边，c为斜边。已知两边即可求第三边。

三角函数比值

三角函数用于关联角度和边长。主要有正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）：

正弦(A) = 对边 / 斜边 (a/c)

余弦(A) = 邻边 / 斜边 (b/c)

正切(A) = 对边 / 邻边 (a/b)

SOH-CAH-TOA 是记忆这些关系的口诀。

关键属性

三角形内角和为180°（A + B + 90° = 180°）。
两个锐角互补（A + B = 90°）。
著名的3-4-5三角形：3² + 4² = 5²。

计算器使用步骤详解

如何正确输入已知值。
理解计算结果。
利用示例快速上手。

我们的计算器设计直观，按以下步骤即可解决直角三角形问题：

1. 确定已知量

查看题目，确定你已知哪两个量。必须至少知道一个边长。可输入的有边a、边b、斜边c、角A、角B。

2. 输入数值

将两个已知值输入对应输入框，其他三项留空。例如已知边a=5，角A=30°，只需填写这两项。

3. 计算并解读结果

点击“计算”按钮，计算器会立即显示所有未知量：三边、两个锐角（度）、面积和周长。

支持的输入场景

两条直角边（a, b）
一条直角边和斜边（如a, c）
一条直角边和一个角（如a, A或a, B）

直角三角形的实际应用

建筑和施工中的应用。
导航和测量依赖三角学。
物理、工程和计算机图形学中的用途。

直角三角形原理不仅是理论基础，更广泛应用于科学、技术和日常生活。

建筑与施工

建筑师和工人经常用直角三角形确保角度准确、计算屋顶坡度、设计楼梯或确定支撑梁长度。

导航与测量

测量员用三角测量法（基于三角形性质）确定两点间距离。GPS等导航系统也用类似原理定位。

物理与工程

在物理学中，力和速度常用向量表示。直角三角形用于分解这些向量，便于分析运动和力。

实际案例

通过测量建筑物底部距离和顶部仰角计算高度。
求到某地的最短距离（斜边）。
设计安全、无障碍坡道（斜率/角度）。

常见误区与正确方法

混淆正弦、余弦和正切。
毕达哥拉斯定理应用错误。
角度单位混淆（度与弧度）。

三角函数计算常见错误，理解这些陷阱有助于准确解题。

SOH-CAH-TOA混淆

【误区】用错三角函数比值。【纠正】务必核对关系：正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边。先标注三角形各边有助于避免混淆。

毕达哥拉斯定理错误

【误区】公式写错，如a² + c² = b²。【纠正】斜边（c）必须单独在等式一侧（a² + b² = c²）。求直角边时，公式为a² = c² - b²。

角度单位

【误区】用度数时计算器设为弧度，或反之。【纠正】本计算器所有角度均用度，几何问题最常用。用其他工具时请注意单位。

要点总结

先确定斜边。
用反三角函数（sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹）求角。
输入值必须为正，边和角均为物理量。

数学推导与公式

每种计算场景的公式。
面积和周长的推导。
如何用反三角函数求角。

计算器根据几何和三角学的核心公式和逻辑规则求解未知量。

核心公式

毕达哥拉斯定理：c = sqrt(a² + b²)

正弦：sin(A) = a/c

余弦：cos(A) = b/c

正切：tan(A) = a/b

角和：A + B = 90°

推导公式

根据输入不同，计算器组合使用这些公式。例如已知a和A：

B = 90 - A

c = a / sin(A)

b = a / tan(A)

面积与周长

面积 = (1/2) a b

周长 = a + b + c

推导示例（已知a=3, b=4）

`c = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5`
`A = atan(3/4) ≈ 36.87°`
`B = atan(4/3) ≈ 53.13°`

两条直角边

一条直角边和其对角

斜边和一个锐角

一条直角边和斜边