多边形的质心计算依赖于鞋带公式（也称为测量员公式）和应用于离散坐标的积分微积分原理。理解数学基础有助于正确应用概念。
面积的鞋带公式
对于具有顶点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、...、(xₙ,yₙ)的多边形，有符号面积为：
A = (1/2) × Σ(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)，其中和从i=1到n，且(xₙ₊₁,yₙ₊₁) = (x₁,y₁)
质心公式推导
质心坐标从面积的一阶矩导出：
x̄ = (1/6A) × Σ(xᵢ + xᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)
ȳ = (1/6A) × Σ(yᵢ + yᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)
数学基础
这些公式来自应用于定义质心坐标的双重积分的格林定理。离散和近似于多边形面积上的连续积分。
详细示例计算
示例：计算具有顶点A(0,0)、B(4,0)、C(2,3)的三角形的质心。
步骤1：使用鞋带公式计算有符号面积：
A = (1/2)[(0×0 - 4×0) + (4×3 - 2×0) + (2×0 - 0×3)] = (1/2)[0 + 12 + 0] = 6
步骤2：计算质心坐标：
x̄ = (1/36)[(0+4)(0×0-4×0) + (4+2)(4×3-2×0) + (2+0)(2×0-0×3)] = (1/36)[0 + 72 + 0] = 2
ȳ = (1/36)[(0+0)(0×0-4×0) + (0+3)(4×3-2×0) + (3+0)(2×0-0×3)] = (1/36)[0 + 36 + 0] = 1
结果：质心位于(2, 1)，这与已知的三角形质心公式匹配。