最小二乘回归直线计算器

确定一组配对数据点（X 和 Y）的最佳拟合直线。

该工具计算回归直线方程、相关系数和其他关键统计量。

输入自变量的数据。

输入因变量的数据。

实际示例

探索这些常见场景，了解计算器的工作原理。

正相关

正相关

一个简单的例子，Y 随 X 增加而增加。

X: [1, 2, 3, 4, 5]

Y: [2, 4, 5, 4, 6]

负相关

负相关

一个例子，Y 随 X 增加而减少。

X: [1, 2, 3, 4, 5]

Y: [5, 4, 4, 2, 1]

弱/无相关

弱/无相关

一组没有明显线性关系的数据点。

X: [1, 2, 3, 4, 5]

Y: [3, 1, 4, 1, 5]

实际数据：学习时间与分数

实际数据

一个实际应用，展示学习时间与考试分数之间的关系。

X: [2, 3, 5, 7, 8]

Y: [65, 70, 78, 85, 92]

其他标题
理解最小二乘回归直线：全面指南
深入了解最佳拟合直线、其应用及背后的数学原理。

什么是最小二乘回归直线？

  • 核心概念
  • “最佳拟合”标准
  • 最小化误差
最小二乘回归直线，通常称为“最佳拟合直线”，是一条最能代表一组配对数据点关系的直线。它是使点到直线的垂直距离（残差）的平方和最小的直线。
最小二乘原理
核心思想是找到一个线性方程（y = mx + b），其中斜率（m）和截距（b）被选择为使观测 y 值与直线预测 y 值之间的平方差之和最小。该方法确保直线整体上尽可能接近所有数据点。

计算器使用分步指南

  • 数据输入
  • 计算
  • 结果解读
使用计算器非常简单。请按照以下步骤进行分析。
1. 输入您的数据
将数据输入到两个字段中。“X值”用于自变量，“Y值”用于因变量。您可以用逗号或空格分隔数字。请确保 X 和 Y 都输入相同数量的数据点。
2. 点击“计算”
输入数据后，点击“计算”按钮。工具会立即处理数据。
3. 分析输出
结果部分将显示回归直线方程、斜率、截距、相关系数（r）和决定系数（r²）。利用这些值了解数据关系的性质和强度。

回归分析的实际应用

  • 经济与金融
  • 科学与工程
  • 社会科学
线性回归是应用最广泛的统计技术之一，涉及众多领域。
预测建模
在金融领域，可用于建模股票价格与市场指数之间的关系。在商业中，帮助根据广告支出预测销售额。
科学研究
生物学家可以用它来理解药物剂量与患者反应之间的关系。工程师可以用它来预测材料在应力下的失效。

常见用例

  • 根据房屋面积预测房价。
  • 分析温度对作物产量的影响。

理解关键输出

  • 方程式
  • 相关系数 (r)
  • 决定系数 (r²)
结果的每一部分都揭示了数据的不同信息。
斜率 (m) 和截距 (b)
斜率 (m) 表示变化率；X 每增加一个单位，Y 预计变化斜率的数值。截距 (b) 是当 X 为零时 Y 的预测值。
相关系数 (r)
该值范围为 -1 到 +1，衡量线性关系的强度和方向。接近 +1 表示强正相关，接近 -1 表示强负相关，接近 0 表示弱或无相关。
决定系数 (r²)
R² 表示因变量 (Y) 的方差中可由自变量 (X) 线性关系解释的比例。例如，r² 为 0.75 意味着 Y 的 75% 变异可由 X 的线性关系解释。

数学推导与公式

  • 斜率计算
  • 截距计算
  • r 的公式
计算器使用标准统计公式来计算回归直线的各个组成部分。设“n”为数据点数量。
斜率 (m) 的公式
m = [n Σ(xy) - Σx Σy] / [n * Σ(x²) - (Σx)²]
截距 (b) 的公式
b = [Σy - m * Σx] / n
相关系数 (r) 的公式
r = [n Σ(xy) - Σx Σy] / sqrt([n Σ(x²) - (Σx)²] [n * Σ(y²) - (Σy)²])