贝塔分布计算器

分布与统计模型

输入形状参数（α 和 β）以计算贝塔分布的属性。

示例

点击示例将其数据加载到计算器。

右偏分布

单峰

贝叶斯分析中常见的情形，成功（α）少于失败（β），峰值靠近0。

α: 2, β: 5, x: 0.25

左偏分布

单峰

成功（α）多于失败（β）时，分布峰值靠近1。

α: 5, β: 2, x: 0.75

对称抛物线分布

对称

当α和β相等且大于1时，分布对称且呈钟形，中心在0.5。

α: 2, β: 2, x: 0.5

U形分布

双峰

当α和β都小于1时，分布呈U形，结果更可能接近0或1。

α: 0.5, β: 0.5, x: 0.5

其他标题
理解贝塔分布：全面指南
探索贝塔分布背后的理论、应用与数学，是建模概率的多功能工具。

什么是贝塔分布？

  • 核心概念
  • 关键参数
  • 多样形状
贝塔分布是在区间[0, 1]上定义的连续概率分布，由两个正的形状参数α和β决定。其主要用途是对概率的不确定性建模。例如，可用于表示实验中的成功概率，如广告点击率或网站转化率。
α 和 β 的作用
参数α和β是决定分布形状的“形状”参数。直观上，可视为“成功”（α）和“失败”（β）的计数。当α大于β时，分布质量集中在1附近（高成功概率）；反之，β大于α时，质量集中在0附近（低成功概率）。当α和β相等时，分布以0.5为中心对称。

贝塔分布计算器使用步骤

  • 输入参数
  • 解读结果
  • 使用示例
本计算器简化了贝塔分布的计算流程。请按以下步骤操作：
• 输入α值：必须为正数，代表成功次数或对高概率的证据。
• 输入β值：必须为正数，代表失败次数或对低概率的证据。
• 输入x值（可选）：提供0到1之间的值，用于计算该点的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。
• 点击“计算”：工具将计算均值、方差、标准差、众数、PDF和CDF。
理解输出结果
结果全面展示了分布特性。均值给出平均期望概率，方差反映分布离散程度。PDF表示特定概率x的可能性，CDF表示小于等于x的累计概率。

贝塔分布的实际应用

  • 贝叶斯推断
  • 项目管理
  • A/B测试
贝叶斯推断与先验分布
贝塔分布在贝叶斯统计中作为二项分布的共轭先验而著名。这意味着如果你对概率有先验信念（用贝塔分布建模），并观察到新的二项实验数据，更新后的信念（后验）仍为贝塔分布。这使得信念更新在数学上非常方便。
PERT中的任务持续时间建模
在项目管理中，PERT（计划评审技术）使用贝塔分布对任务所需时间建模。通过估计乐观、悲观和最可能完成时间，可以拟合贝塔分布以估算期望时间和风险。
A/B测试分析
在市场营销和产品开发中，A/B测试用于比较网页或应用的两个版本。每个版本的转化率可建模为贝塔分布。通过比较两个分布，可以确定A版本优于B版本的概率。

常见误区与正确方法

  • 与正态分布混淆
  • 众数的解释
  • 先验选择
一个常见错误是假设所有概率分布都像正态分布一样呈钟形。贝塔分布非常灵活，可以是U形、J形或均匀分布，不仅仅是钟形。
众数何时有意义？
众数公式 (α - 1) / (α + β - 2) 仅在α和β都大于1时有效。如果任一参数小于等于1，分布峰值在端点（0或1），或分布为U形，此时众数作为单一峰值并不适用。
有信息先验与无信息先验
在贝叶斯分析中，先验选择至关重要。Beta(1, 1)为均匀分布，代表无先验知识（无信息先验）。有时建议用Beta(0, 0)，但这是不合适的先验。有信息先验如Beta(10, 2)则强烈暗示成功概率较高。

数学推导与公式

  • 概率密度函数 (PDF)
  • 累积分布函数 (CDF)
  • 关键统计量
贝塔分布的数学基础在于贝塔函数 B(α, β)。
PDF公式
PDF公式为：f(x; α, β) = (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / B(α, β)，其中 B(α, β) = Γ(α)Γ(β) / Γ(α+β) 是贝塔函数，Γ为伽玛函数。该公式保证曲线下的总面积为1。
CDF公式
CDF为正则不完全贝塔函数 I_x(α, β)，表示PDF从0积分到x的结果。没有简单的闭式表达式，通常用数值方法计算。
均值、方差和众数公式
• 均值 (E[X])：α / (α + β)
• 方差 (Var(X))：(αβ) / ((α + β)²(α + β + 1))
• 众数：(α - 1) / (α + β - 2)（α, β > 1 时）