本福特定律计算器 - 分析首位数字分布

本福特定律，又称首位数字定律，是关于许多现实生活数值数据首位数字出现频率的有趣统计现象。与直觉相反，1到9的数字作为首位出现的频率并不相等。数字1约占30%，而数字9不到5%。这一模式最早由天文学家西蒙·纽康于1881年提出，后由物理学家弗兰克·本福特于1938年重新发现并推广。

定律背后的公式

在符合本福特定律的数据集中，数字d（1到9）作为首位的概率为：P(d) = log10(1 + 1/d)。这种对数关系解释了从1到9频率递减的现象。该定律不仅适用于首位数字，也可推广到第二位、第三位及多位组合，但后续位数分布趋于均匀。

适用条件

本福特定律最适用于跨越多个数量级的数据。范围受限的数据（如身高）不适用。适用的关键标准包括：数字应代表事件规模、无预设上限，且不应为分配编号（如发票号、支票号）。

使用本计算器非常简单。只需复制您的数字列表并粘贴到文本框中，数字可用逗号、空格或换行分隔。计算器会自动解析有效数字，忽略文本或无效项。

结果表说明

点击“计算”后，工具会生成一个表格，显示每个首位数字（1-9），并将“实际”频率与“本福特”期望频率进行比较。“差异”列突出显示数据与期望值的偏差，便于发现显著异常。

卡方（χ²）检验

为提供统计符合性的度量，计算器会执行卡方检验。该检验量化您的数据分布与本福特分布的差异。结果包括卡方值、自由度（首位分析为8）和p值。较小的p值（通常<0.05）表示偏差具有统计学意义，说明数据不符合本福特定律。较大的p值则表明数据与定律一致。

发现财务欺诈

本福特定律在法务会计中的应用极为重要。当人们伪造数字（如发票、支票、报销）时，往往会均匀分布数字，违背了本福特定律的对数规律。审计人员利用这一点，对显著偏离的数据集进行标记，提示潜在欺诈、操纵或错误。

分析选举数据

本福特定律也被用于分析选举计票。虽然偏离定律并不能直接证明欺诈（因选区数据可能不满足条件），但可作为进一步调查的指标，有助于发现投票率或候选人得票的统计异常。

验证科学与经济数据

科学家和经济学家用本福特定律验证大型数据集的完整性。无论是宏观经济数据、河流长度还是物理常数，自然过程产生的数据通常符合定律。不符可能提示测量误差、数据处理问题，甚至学术不端。

并非普遍适用

常见错误是将本福特定律应用于所有数据集。如前所述，受限范围的数据（如0-100分的考试成绩）、分配编号（邮编、电话）或受人为影响的数据（如以.99结尾的价格）均不适用。错误应用会导致错误结论。

筛查工具而非定罪依据

显著偏离本福特定律是统计预警，而非确凿证据。它表明数据异常，需要进一步调查原因。原因可能是欺诈，也可能是数据处理错误、数据本身特性或定律应用不当。

样本量的重要性

要获得有统计意义的分析，数据集应足够大。虽然没有绝对标准，但建议至少有50-100个有效数字，样本越大结果越可靠。样本过小可能因偶然性出现偏差。

为何用对数？

本福特定律源于我们对相对数量级的对数感知。log(1)与log(2)之间的间隔远大于log(8)与log(9)之间。数据在对数尺度上均匀分布时会出现本福特定律。这常见于乘法增长过程（如投资、人口增长）。

尺度不变性

符合本福特定律的数据集具有尺度不变性。例如，将一组数值（如英里）转换为另一单位（如公里），新数据仍符合本福特定律。这一特性使其适用于不同来源的数据分析。

进制不变性

虽然通常在十进制中演示，本福特定律并不依赖于我们的十进制系统。该原理在其他进制下同样成立，只是概率会随进制变化。这说明该现象是数字的基本属性，而非书写方式的产物。