泊松分布计算器

分布与统计模型

计算在固定时间或空间区间内发生给定次数事件的概率。

示例

探索真实场景，了解泊松分布的应用。

呼叫中心通话量

呼叫中心

一个呼叫中心每小时平均接到10个电话。计算在一小时内恰好接到5个电话的概率。

λ: 10, x: 5

制造缺陷

制造缺陷

一家工厂生产灯泡，每100个灯泡平均有2个缺陷。计算在一组100个灯泡中没有缺陷的概率。

λ: 2, x: 0

样本中的细菌数

生物样本

一位生物学家预计在一个培养皿上会发现4个特定类型的细菌。计算最多发现3个细菌的概率。

λ: 4, x: 3

网站访问量

网站流量

某网站每分钟平均有5.5位访客。计算一分钟内访问人数超过7人的概率。

λ: 5.5, x: 7

其他标题
理解泊松分布：全面指南
深入了解泊松分布计算器背后的概念、应用和数学原理。

什么是泊松分布？

  • 核心概念
  • 关键假设
  • 与其他分布的关系
泊松分布是一种离散概率分布，表示在固定时间或空间区间内，已知平均速率且事件彼此独立的情况下，发生给定次数事件的概率。它以法国数学家西缅·德尼·泊松命名。
核心概念
该分布由单一参数λ（lambda）定义，表示给定区间内事件的平均次数。例如，如果一个呼叫中心每小时平均接到10个电话，则λ=10。
关键假设
要使泊松分布成为有效模型，需满足以下假设：1）事件相互独立。2）事件的平均速率（λ）为常数。3）两个事件不能在同一时刻发生。4）在小区间内发生事件的概率与区间长度成正比。
与其他分布的关系
当试验次数n很大且成功概率p很小时（即n→∞, p→0, 且np→λ），泊松分布可视为二项分布的极限情况。

概念示例

  • 你一小时内收到的电子邮件数量。
  • 一本书一页上的错别字数量。
  • 一分钟内通过公路某点的汽车数量。

泊松分布计算器使用步骤指南

  • 输入数据
  • 结果解读
  • 重置与示例功能
我们的计算器简化了泊松概率的查找过程。以下是有效使用方法。
输入数据
你需要两项信息：‘平均成功率 (λ)’ 和 ‘成功次数 (x)’。λ是事件发生的平均次数，x是你关心的具体次数。
结果解读
计算器提供多个输出：P(X = x)为恰好x次事件的概率。P(X ≤ x)为x次及以下事件的累积概率。P(X ≥ x)为x次及以上事件的概率。还显示分布的均值、方差和标准差。
重置与示例功能
‘重置’按钮会清除所有输入和结果。‘示例’部分提供预设场景，帮助你理解不同用例。

泊松分布的实际应用

  • 金融与保险
  • 电信
  • 质量控制
泊松分布不仅是理论概念，在各领域广泛应用。
金融与保险
保险公司用它来建模在给定期间内预期收到的理赔数量（如车祸、火灾），以合理设定保费。
电信
它有助于建模呼叫中心的来电数量或路由器接收的数据包数量，这对容量规划至关重要。
质量控制
制造商用泊松分布监控产品中的缺陷数量（如每平方米布料的缺陷，每个车身面板的瑕疵）。

应用场景

  • 建模一个城市每月的破产数量。
  • 估算一场足球比赛的进球数。
  • 预测给定时间内的放射性衰变事件数。

数学推导与公式

  • 泊松公式
  • 累积概率计算
  • 均值、方差与标准差
计算器背后的核心是泊松概率质量函数（PMF）。
泊松公式
恰好观察到x次事件的概率公式为：P(X=x) = (λ^x * e^-λ) / x! 其中e为自然常数（约2.71828），λ为平均速率，x!为x的阶乘。
累积概率计算
要计算如P(X ≤ x)这样的累积概率，需要将0到x所有结果的概率相加：Σ [i=0到x] P(X=i)。
均值、方差与标准差
泊松分布的一个独特性质是其均值和方差都等于λ，因此标准差为√λ。

计算示例

  • 若λ=3且x=2，P(X=2) = (3^2 * e^-3) / 2! = (9 * 0.0498) / 2 ≈ 0.224。

常见误区与正确方法

  • 与二项分布混淆
  • 假设速率恒定
  • 误解λ的含义
了解常见陷阱有助于你正确应用泊松分布。
与二项分布混淆
二项分布用于建模固定次数试验中的成功次数，而泊松分布用于建模固定区间内事件的发生次数。‘n次中有几次’用二项分布，‘速率’场景用泊松分布。
假设速率恒定
一个关键假设是平均速率λ为常数。如果速率在区间内变化（如上班时间呼叫量更高），标准泊松模型可能不适用。
误解λ的含义
确保你使用的λ与关注的区间一致。如果你知道每小时的速率，但要计算30分钟内的概率，必须相应调整λ（如除以2）。