残差计算器

假设检验与统计推断

该工具计算简单线性回归模型的残差。输入您的数据点以查找观测值与预测值之间的差异。

实用示例

通过这些常见场景了解残差计算器的工作原理。

基础线性数据

基础线性数据

一个简单、近似线性的示例数据集，用于演示基本计算。

X: 1, 2, 3, 4, 5

Y: 2, 4, 5, 4, 5

温度与植物生长

温度与植物生长

分析日均温度与每周植物生长（厘米）之间的关系。

X: 15, 18, 21, 24, 27

Y: 5.5, 6.2, 7.1, 8.5, 9.8

广告支出与销售额

广告支出与销售额

一个商业示例，计算每月广告支出与销售收入之间的残差。

X: 1000, 1500, 2000, 2500, 3000

Y: 50000, 58000, 65000, 70000, 78000

房屋面积与价格

房屋面积与价格

一个房地产示例，分析房屋面积（平方英尺）与市场价格之间的关系。

X: 1400, 1600, 1700, 1875, 2100

Y: 245000, 312000, 279000, 308000, 405000

其他标题
理解残差计算器：全面指南
深入了解统计残差、线性回归的概念，以及如何解读结果以实现有效数据分析。

什么是统计残差？

  • 残差的核心概念
  • 观测值与预测值
  • 残差在回归分析中的作用
在统计学中，残差是数据点与回归线之间的垂直距离。它代表模型中的“误差”或未解释的方差。残差的计算方式为（观测值 - 预测值）。正残差表示模型低估了实际值，负残差表示高估了实际值。
观测值与预测值
“观测值”是您收集到的实际数据点（即 y 值）。“预测值”（通常记作 ŷ，“y 帽”）是回归模型根据自变量（x 值）‘猜测’的值。一个好的回归模型的目标是最小化这些残差的和，特别是它们的平方和。

简单示例

  • 如果模型预测房价为 300,000 元（预测值），但实际售价为 315,000 元（观测值），则残差为 +15,000 元。
  • 如果预测学生考试得分为 85，但实际得分为 80，则残差为 -5。

残差计算器使用分步指南

  • X 和 Y 值的数据输入
  • 执行计算
  • 解读输出字段
1. 数据输入
在“自变量值 (X)”字段中输入预测变量的数据。在“观测值 (Y)”字段中输入结果变量的数据。确保每个值用逗号分隔，并且 X 和 Y 的数量相等。
2. 计算
点击“计算”按钮。该工具将首先执行线性回归以找到最佳拟合线（ŷ = b₀ + b₁x）。
3. 解读结果
计算器将显示回归方程、每个数据点的残差列表、这些残差的总和（应接近零）以及残差平方和 (SSR)，这是衡量模型拟合优度的关键指标。

残差分析的实际应用

  • 金融与经济学
  • 科学研究
  • 制造业质量控制
模型拟合度评估
残差的主要用途是评估回归模型对数据的拟合程度。通过绘制残差图，分析人员可以检查是否存在某种模式，这可能表明线性模型不适用于该数据。
异常值检测
具有异常大残差的数据点为异常值。这些点远离回归线，可能对模型的准确性产生重大影响。识别这些点对于稳健的数据分析至关重要。

应用领域

  • 在金融领域，用于判断股票表现是否被定价模型高估或低估。
  • 在医学中，用于判断患者对药物的反应是否偏离基于剂量的预测反应。

常见误区与正确方法

  • 误区：“所有残差都必须很小”
  • 误区：“残差之和总是精确为零”
  • 正确方法：分析残差图
分析残差图
与其只看数字，最佳实践是绘制残差图（残差与预测值的散点图）。一个好的残差图应在零线附近随机分布。如果出现曲线（非线性）、漏斗形（异方差性）或任何明显模式，说明模型存在问题。

数学推导与公式

  • 回归线公式
  • 残差公式
  • 残差平方和 (SSR)
1. 回归线 (ŷ = b₀ + b₁x)
斜率 (b₁) 的计算公式为：b₁ = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / Σ((xᵢ - x̄)²)。截距 (b₀) 为：b₀ = ȳ - b₁x̄，其中 x̄ 和 ȳ 分别为 x 和 y 的均值。
2. 残差公式
对于每个点 i，残差 (eᵢ) 的计算方式为：eᵢ = yᵢ - ŷᵢ = yᵢ - (b₀ + b₁xᵢ)。
3. 残差平方和 (SSR)
这是衡量模型总误差的指标。计算方式为：SSR = Σ(eᵢ)² = Σ(yᵢ - ŷᵢ)²。