超几何分布计算器

超几何分布是一种离散概率分布，描述在不放回的情况下，从包含K个特定特征对象的有限总体N中抽取n次，恰好获得k个成功的概率。这与二项分布不同，后者描述的是有放回抽样下k次成功的概率。

为什么“不放回”很重要

关键区别在于每次抽取后的成功概率会发生变化。例如，从一副牌中抽一张后不放回，第二次抽到A的概率与第一次不同。超几何分布正是考虑了这种概率变化。

使用计算器很简单。你需要四个关键信息：

• 总体大小 (N)：你要抽取的总体项目总数。 • 总体中的成功数 (K)：具有目标特征的项目总数。 • 样本大小 (n)：你抽取的项目数。 • 样本中的成功数 (k)：你关心的成功项目具体数量。

解读输出结果

计算器会给出多个结果。'P(X=k)' 是你指定成功数的精确概率。累积概率（如 P(X≤k)）表示获得“至多”k个成功的概率。均值、方差和标准差描述了分布的中心、离散程度和典型偏差。

超几何分布不仅是学术概念，在实际中有广泛应用。

制造与质量控制

假设工厂生产1000个灯泡，其中50个不良品。检查员随机抽取100个，超几何分布可计算样本中恰好有5个不良品的概率，帮助公司决定是否拒收整批产品。

遗传学与生态学

生物学家用它进行捕获-再捕获法估算动物种群数量。如果他们在森林中捕获、标记并释放100只鹿，之后再捕获50只，发现其中10只是标记的，可以据此估算总鹿群数量。

超几何分布的威力来自于组合数学的基础——计数。

公式解析

P(X=k) = [ C(K, k) * C(N-K, n-k) ] / C(N, n)

• C(K, k)：从K个成功中选出k个的组合数。 • C(N-K, n-k)：从N-K个失败中选出n-k个的组合数。 • C(N, n)：从N个总体中选出n个样本的组合数。

本质上，公式计算的是期望结果出现方式与所有可能结果方式的比值。

主要困惑在于何时用超几何分布，何时用二项分布。关键在于抽样是否放回。

何时可用二项分布近似？

虽然两者有区别，但如果样本量 (n) 小于总体 (N) 的10%，每次抽取概率变化很小，此时二项分布可作为合理且更简单的近似。但为保证准确，尤其在总体较小时，建议使用超几何模型。

请确保输入合理。例如，样本中的成功数 (k) 不能大于样本大小 (n) 或总体中的成功数 (K)。