抽样误差计算器

假设检验与统计推断

通过计算抽样误差和误差范围，确定统计样本的精确度。支持比例和均值的计算，并可选用有限总体修正。

实际案例

探索真实场景，了解如何针对不同数据类型使用本计算器。

政治民调

比例

一项针对 1000 名选民的选前调查发现，55% 计划投票给候选人 A。请计算 95% 置信水平下的误差范围。

样本比例: 0.55

样本量: 1000

置信水平: 95%

员工满意度调查（有限总体修正）

比例（有限总体修正）

某公司对其 2500 名员工中的 300 人进行了调查，发现 80% 对福利满意。请在 99% 置信水平下，应用有限总体修正后计算误差范围。

样本比例: 0.8

样本量: 300

总体规模: 2500

置信水平: 99%

学生考试成绩

均值

对 50 名学生的样本进行测试，平均分为 78，标准差为 8。请计算 95% 置信水平下均值的误差范围。

样本均值: 78

样本标准差: 8

样本量: 50

置信水平: 95%

制造业质量控制

均值（有限总体修正）

某工厂每天生产 5000 个零件。抽取 200 个样本检测，平均重量为 150g，标准差为 2.5g。请计算所有零件平均重量的 90% 置信区间。

样本均值: 150

样本标准差: 2.5

样本量: 200

总体规模: 5000

置信水平: 90%

其他标题
理解抽样误差：全面指南
深入了解抽样误差、其计算方法及其在统计推断中的重要性。学习如何解读结果并基于样本数据做出合理结论。

什么是抽样误差？

  • 抽样误差的核心概念
  • 抽样误差产生的原因
  • 抽样误差与非抽样误差
抽样误差是指分析人员未能选择能代表总体的样本时产生的统计误差。因此，样本中的结果并不代表整个总体的结果。这是任何基于样本推断总体信息过程中的固有不确定性。
抽样误差的核心概念
根本思想是样本只是总体的一个子集。由于样本未包含总体的所有成员，样本的统计量（如均值或比例）很可能与总体的真实统计量不同，这种差异就是抽样误差。目标不是消除它（除非调查整个总体，否则不可能），而是量化它。
抽样误差产生的原因
抽样误差完全源于被抽中个体的随机性。从同一总体中抽取的两个不同样本几乎肯定会产生略有不同的结果。这种变异性正是抽样误差的本质。其大小取决于多个因素，包括样本量（样本量越大误差越小）和总体本身的变异性。
抽样误差与非抽样误差
必须区分抽样误差和非抽样误差。非抽样误差是与抽样过程无关的错误或偏差。例如数据录入错误、问卷设计偏差、无应答偏差（未应答者与应答者不同）或测量误差。抽样误差可以通过增加样本量计算和减少，而非抽样误差往往更难发现和控制。

抽样误差计算器使用分步指南

  • 选择正确的计算类型
  • 正确输入数据
  • 解读结果
本计算器设计简明易用。请按照以下步骤获得准确结果。
选择正确的计算类型（比例 vs 均值）
第一步是选择您处理的是分类数据（比例）还是数值数据（均值）。对于二元结果（如是/否、通过/未通过、某产品偏好百分比）请选择“比例”；对于连续数据（如身高、体重、温度、考试分数）请选择“均值”。
正确输入数据
比例计算需填写：样本比例（小数，如 0.65 代表 65%）和样本量（n）。均值计算需填写：样本均值（x̄）、样本标准差（s）和样本量（n）。两者均可选填总体规模（N），以应用有限总体修正（当样本量超过总体的 5% 时，误差范围会略小更准确）。最后请选择所需置信水平。
解读结果
计算器会给出两个关键结果：抽样误差（或均值的标准误差）和误差范围。误差范围是最实用的结果，它为您的样本统计量提供了一个不确定性区间。例如，样本比例为 55%，误差范围为 3%，则可有信心（在所选置信水平下）总体真实比例在 52% 到 58% 之间。

抽样误差的实际应用

  • 政治民调与选举预测
  • 市场调研与消费者洞察
  • 科学与医学研究
政治民调与选举预测
当新闻机构报道某候选人支持率为 48%，误差范围为 ±3% 时，实际上是在传达抽样误差。这意味着他们有信心该候选人在总体中的真实支持率在 45% 到 51% 之间。理解这一点对于判断候选人是否具有统计学显著优势至关重要。
市场调研与消费者洞察
公司可能会调查 500 名客户对新功能的兴趣。如果样本中 70% 表示喜欢，通过抽样误差计算，公司可了解整个客户群体的潜在接受范围，从而决定是否投资开发该功能。
科学与医学研究
在新药临床试验中，研究人员抽取部分患者测量其疗效（如平均降压值）。抽样误差有助于确定该药对所有潜在患者的真实效果的置信区间。这对于药品获批至关重要。

数学推导与公式

  • 比例的抽样误差公式
  • 均值的标准误差公式
  • 有限总体修正（FPC）
比例的抽样误差公式
比例的抽样误差（标准误差）公式为：SEp = √[p(1-p) / n]，其中 p 为样本比例，n 为样本量。
均值的标准误差公式
均值的标准误差公式为：SEx = s / √n，其中 s 为样本标准差，n 为样本量。
误差范围与置信水平
误差范围（ME）= Z * SE，其中 Z 为对应置信水平的 Z 分数。95% 置信水平下 Z 约为 1.96，99% 时为 2.576。
有限总体修正（FPC）
当从有限总体中不放回抽样时，可用 FPC 因子下调标准误差。FPC = √[(N-n) / (N-1)]，N 为总体规模，n 为样本量。修正后标准误差为：调整后 SE = SE * FPC。通常当样本量超过总体的 5% 时使用此修正。

常见误区与正确方法

  • 误区：“误差范围”就是全部误差
  • 误区：小样本总是不好
  • 误区：置信区间重叠就“无差异”
误区：“误差范围”就是全部误差
常见错误是认为误差范围涵盖了所有潜在不准确性。实际上它只反映了随机抽样误差，不包括如问卷设计不当、选择偏差、受访者不如实回答等非抽样误差。即使误差范围很小，方法学有问题的调查结果也可能完全错误。
误区：小样本总是不好
虽然样本量越大抽样误差越小，但小而随机的样本往往比大而有偏的样本更准确。抽样质量往往比数量更重要。对于非常大的总体（如全国人口），只要抽样得当，1000-2000 个样本即可获得非常准确的估计。
误区：置信区间重叠就“无差异”
比较两组（如候选人 A 支持率 52%±3%，B 为 49%±3%）时，置信区间重叠。许多人认为这意味着两者无统计学显著差异。其实不然。需通过正式假设检验（如两比例 z 检验）得出结论。仅凭区间重叠判断过于简单且有时不正确。