对数正态分布计算器 - PDF、CDF与分析

对数正态分布是一种连续概率分布，其随机变量的对数服从正态分布。换句话说，如果随机变量X服从对数正态分布，则Y=ln(X)服从正态分布。该分布广泛用于建模始终为正且具有右偏长尾的连续随机量。

关键参数

对数正态分布由两个参数定义：位置参数（μ，对数尺度）和尺度参数（σ，形状）。它们分别是变量对数的均值和标准差，而不是变量本身。改变μ会整体平移分布，改变σ会改变分布形状。

与正态分布的关系

对数正态分布与正态分布之间的联系非常重要。如果对对数正态分布的数据取自然对数，结果将服从正态分布。这一特性对于分析至关重要，也是该分布名称的由来。

参数输入

使用计算器时，您需要提供三个值：尺度（σ）、位置（μ）和x值。‘尺度’是对数数据的标准差，必须为正。‘位置’是对数数据的均值。‘x值’是您希望计算概率函数的具体点，必须为非负数。

结果解读

计算器提供六个关键输出：PDF（变量取特定x值的概率）、CDF（变量小于等于x的概率）、以及分布的均值、中位数、众数和方差。这些指标全面反映了分布特性。

金融与经济学

在金融领域，对数正态分布常用于建模股票价格，因为股票价格不能为负且其变化通常是乘法性的。它是Black-Scholes期权定价模型的基础。

工程与可靠性

在可靠性工程中，材料在应力下的失效时间通常服从对数正态分布。这用于预测产品寿命和维护计划。

生物与医学

许多生物过程产生对数正态分布的量。例如，生物组织的大小、一个人头发的数量以及传染病的潜伏期等。

参数混淆（μ和σ）

一个常见错误是将μ和σ理解为数据的直接均值和标准差。实际上，它们是对数数据的均值和标准差。分布的实际均值和方差需由这些参数计算，如结果所示。

对称性假设

与正态分布不同，对数正态分布不是对称的。它是正偏的，右侧有长尾。均值、中位数和众数均不相同，这是其形状的关键特征。

概率密度函数 (PDF)

对数正态分布的PDF公式为：f(x) = (1 / (x σ sqrt(2π))) exp(-(ln(x) - μ)² / (2 σ²))，x > 0。

累积分布函数 (CDF)

CDF公式为：F(x) = Φ((ln(x) - μ) / σ)，其中Φ为标准正态分布的CDF。

关键统计属性