多项式回归计算器 - 在线曲线拟合工具

多项式回归是一种回归分析方法，其中自变量 x 与因变量 y 之间的关系被建模为 x 的 n 次多项式。线性回归用直线拟合数据，而多项式回归可以通过创建曲线来拟合更复杂的非线性关系。

多项式方程

n 次多项式方程的一般形式为：y = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。回归的目标是找到最优的系数（a₀, a₁, ..., aₙ），使预测值与实际 y 值之间的误差最小。

1. 输入数据点

将 (x, y) 坐标对输入到“数据点”文本区域。每对应单独一行（如 '1, 5'），或用分号分隔（'1, 5; 2, 8'）。确保数据干净且格式正确。

2. 选择多项式次数

选择你想拟合的多项式次数。1 表示线性拟合，2 表示二次拟合。更高次数可拟合更复杂的曲线。注意次数过高可能导致过拟合。

3. 进行预测

可选，在预测字段中输入 x 值，根据所得方程计算对应的 y。

4. 分析输出

计算器会给出回归方程、R²值和预测的 y 值。R²（0 到 1）表示模型对数据的拟合优度。

多项式回归广泛应用于各领域，用于建模非线性现象。

示例：

过拟合

多项式次数过高会导致过拟合。模型会完美拟合训练数据，但无法推广到新数据。R² 可能很高，但模型并不实用。通常应选择能充分描述数据的最简单模型（最低次数）。

外推

当对远离原始数据范围的 x 值进行预测时要小心。多项式模型在外推时可能表现异常并产生不现实的结果。

最小二乘法

多项式回归使用最小二乘法来求解系数。该方法最小化残差平方和（观测值与模型预测值之差的平方和）。误差函数 S 为：S = Σ(yᵢ - (a₀ + a₁xᵢ + ... + aₙxᵢⁿ))²

正规方程

为最小化 S，对每个系数（a₀, a₁, ..., aₙ）分别求偏导并令其为零。这样得到 (n+1) 个线性方程，称为正规方程。可用矩阵形式表示为 (XᵀX)A = XᵀY，其中 X 为 x 值的范德蒙矩阵，Y 为 y 值向量，A 为待求系数向量。计算器通过求解该方程组获得最佳拟合方程。