二项分布计算器 | 概率计算

什么是二项分布？

核心概念
伯努利试验
分布参数

二项分布是统计学中基本的离散概率分布。它描述在固定次数的独立试验中，只有两种可能结果（“成功”或“失败”）时，获得成功的次数。要用二项分布建模，需满足四个关键条件。

二项实验的四个条件

1. 固定试验次数 (n)： 实验包含预定次数的试验。例如，抛硬币10次。

2. 独立试验： 每次试验的结果互不影响。每次抛硬币都是独立的。

3. 两种可能结果： 每次试验只有“成功”或“失败”两种结果。

4. 成功概率恒定 (p)： 每次试验成功的概率相同。例如，抛硬币正面概率始终为0.5。

二项分布计算器使用步骤

输入数据
解读结果
使用示例

我们的计算器简化了二项概率的求解过程。按照以下步骤可快速获得准确结果。

输入字段

试验次数 (n)： 输入实验的总试验次数。

单次成功概率 (p)： 输入单次成功的概率，使用小数（如0.75表示75%）。

成功次数 (k)： 指定感兴趣的成功次数。

理解输出

计算器会给出均值、方差、标准差及五种概率（恰好、至多、至少、小于、大于k次成功），便于全面分析场景。

二项分布的实际应用

商业与制造
医学与生物
社会科学与民调

二项分布不仅是理论概念，更是各领域广泛应用的有力工具。

质量控制

制造商可用二项分布计算一批产品中出现特定数量次品的概率，帮助维持质量标准。

医学研究

研究人员可用二项分布建模新药在临床试验中对一定数量患者有效的概率，辅助评估药效。

民调与选举

政治分析师可估算样本中支持某候选人的选民数量概率，为选举结果提供参考。

常见误区与正确方法

独立性关键
离散与连续
近似方法

了解常见误区有助于正确应用二项分布。

假设独立性

常见错误是将二项模型用于相关事件。例如，不放回抽牌每次概率会变化，不满足独立性，不能用二项分布。

用于连续数据

二项分布适用于离散数据（如0、1、2次成功）。连续数据（如身高、体重）应用正态分布等其他分布。

何时用正态近似

当试验次数n较大时，二项概率计算复杂。若np和n(1-p)均大于5（常用经验），可用正态分布近似简化计算。

数学推导与公式

二项公式
二项系数
计算示例

恰好在n次试验中获得k次成功的概率由二项概率公式给出：

P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

其中：

n：试验次数。

k：成功次数。

p：单次试验成功概率。

C(n, k)：二项系数，表示从n次试验中选k次成功的方法数。计算公式为n! / (k! * (n-k)!)。

示例：手动计算

计算3次抛硬币中出现2次正面的概率（n=3，k=2，p=0.5）：

1. 二项系数C(3, 2)： 3! / (2! * 1!) = 3。

2. 成功项p^k： 0.5^2 = 0.25。

3. 失败项(1-p)^(n-k)： (0.5)^1 = 0.5。

4. 最终概率： 3 0.25 0.5 = 0.375 或 37.5%。

抛硬币