逆正态分布计算器 - 根据概率查找X值

逆正态分布，也称为分位函数或百分点函数，是标准累积分布函数（CDF）的逆运算。CDF输入一个值（x），输出到该点的累积概率；逆正态分布输入一个累积概率（曲线下的面积），输出对应的x值。

当你已知某个百分位或概率，需要查找对应的数据点时，这非常有用。例如，想知道能进入前10%的考试分数，就可以用逆正态分布。

均值和标准差的作用

任何正态分布都由两个参数定义：均值（μ）和标准差（σ）。均值决定钟形曲线的中心，标准差决定其宽度。逆正态计算依赖这两个参数，将标准正态分布（μ=0, σ=1）的概率转换为你所用分布的具体数值。

1. 输入你的数据

输入你的正态分布的均值（μ）和标准差（σ）。如果是标准正态分布（Z分数），则均值为0，标准差为1。接着输入累积概率（面积），该值必须在0到1之间。

2. 选择正确的尾部类型

这是关键一步。尾部类型告诉计算器如何解释你提供的概率：

左尾：如果你的概率表示未知x值左侧的面积（P(X < x)），请选择此项。常用于查找百分位。

右尾：如果你的概率表示未知x值右侧的面积（P(X > x)），请选择此项。常用于查找“前百分比”分界。

双尾（中心）：如果你的概率表示两个未知x值之间的中心区域（P(x1 < X < x2)），请选择此项。计算器会给出界定该中心区域的两个x值。

3. 解读结果

计算器会给出与你输入概率对应的X值（或多个X值）。同时给出Z分数，表示该X值距离均值的标准差数。对于双尾计算，会给出下界和上界（x1和x2）。

金融与风险管理

金融分析师用逆正态分布估算风险价值（VaR）。通过指定概率（如5%），可以计算投资在给定期间内的最大潜在损失。例如：“我们有95%的信心，明天的损失不会超过100万美元。”

制造业质量控制

工程师确定产品的规格限。如果制造商希望99%的产品在某一重量范围内，可以用逆正态分布查找对应中心99%的重量界限。

教育与心理测试

标准化考试如SAT或智商测试的分数通常服从正态分布。逆正态函数可用于确定进入某一百分位所需的分数，例如获得奖学金所需进入前1%的分数。

计算依赖于标准正态分布，其均值为0，标准差为1。该分布的变量称为Z分数。

公式

计算器的核心是标准正态分布的分位函数，记作Φ⁻¹(p)，其中“p”为概率。该函数没有简单的代数公式，需用数值近似算法（如本计算器采用的Acklam近似法）计算。

得到概率对应的Z分数（Z = Φ⁻¹(p)）后，可用标准转换公式计算具体分布的x值：

X = μ + Z * σ

其中：X为分布中的数值，μ为均值，σ为标准差，Z为计算得到的Z分数。