负二项分布计算器 - 免费在线工具

什么是负二项分布？

核心概念
关键参数
与二项分布的比较

负二项分布是一种离散概率分布，用于描述在一系列独立且同分布的伯努利试验中，在达到指定（非随机）成功次数（r）前出现的失败次数（k）。每次试验只有两种可能结果：成功或失败，且每次试验的成功概率（p）保持不变。

核心概念

与二项分布统计固定次数试验中的成功次数不同，负二项分布统计在达到固定成功次数前的失败次数。这使其特别适用于“等待时间”场景的建模。

关键参数

该分布由两个参数定义：r（要达到的成功次数）和p（单次试验的成功概率）。随机变量X表示在第r次成功前观察到的失败次数。

与二项分布的比较

关键区别在于什么是固定的，什么是随机的。在二项实验中，试验次数是固定的，成功次数是随机变量。在负二项实验中，成功次数是固定的，试验（或失败）次数是随机变量。

计算器使用分步指南

参数输入
结果解读
重置与示例功能

该计算器简化了负二项分布的计算过程。请按照以下步骤获取结果。

参数输入

成功次数 (r)： 输入目标成功次数。必须为正整数。
单次成功概率 (p)： 输入单次成功的概率。必须为0到1之间的数值。
失败次数 (k)： 输入您关注的具体失败次数。必须为非负整数。

结果解读

计算器会给出几个关键指标：P(X=k)为恰好k次失败的概率；P(X≤k)为不超过k次失败的累计概率；P(X>k)为多于k次失败的概率。同时还会计算分布的均值、方差和标准差。

重置与示例功能

点击“重置”可清空所有输入和结果。使用“示例”部分可加载预设场景，帮助理解公式的实际应用。

负二项分布的实际应用

质量控制
生物与生态
商业与金融

负二项分布不仅是理论概念，在各领域有众多实际应用。

质量控制

在制造业中，可用来建模在找到一定数量非次品前需检查的次品数量，有助于制定高效的检验计划。

生物与生态

生态学家用其建模物种丰度。例如，统计昆虫在找到一定数量寄主植物前需访问的非寄主植物（失败）数量。

商业与金融

在销售领域，可预测销售代表在达成目标前可能遇到的失败电话数量。在金融领域，可用于建模在获得一定盈利交易前的亏损交易次数。

常见误区与正确方法

与几何分布混淆
假设概率恒定
忽略试验独立性

了解常见误区有助于正确应用负二项分布。

与几何分布混淆

常见错误是将其与几何分布混淆。几何分布是负二项分布的特例，即成功次数r=1。若r>1，则需用负二项分布。

假设概率恒定

该模型假设每次试验的成功概率p恒定。实际中，这一假设未必总成立（如球员因疲劳命中率变化）。务必验证此假设。

忽略试验独立性

试验必须相互独立。一次试验的结果不应影响另一试验。若试验相关（如不放回抽牌），应采用其他统计模型。

数学推导与公式

概率质量函数 (PMF)
均值与方差计算
实例演算

在第r次成功前出现k次失败的概率由概率质量函数（PMF）给出。

概率质量函数 (PMF)

公式为：P(X = k) = C(k + r - 1, k) p^r (1-p)^k。其中C(n, k)为二项式系数，计算方式为n! / (k! * (n-k)!)。它表示在k+r-1次试验中安排k次失败的方式数（最后一次必须为成功）。

均值与方差计算

失败次数的期望（均值）为μ = (r (1-p)) / p。方差（衡量分布离散程度）为σ² = (r (1-p)) / p²。

实例演算

假设我们想要获得2次成功（r=2），单次成功概率为0.25（p=0.25），想知道先出现3次失败（k=3）的概率。P(X=3) = C(3+2-1, 3) (0.25)^2 (0.75)^3 = C(4, 3) 0.0625 0.421875 = 4 * 0.026367... ≈ 0.1055。

制造业中的质量控制

篮球罚球

生态学采样

销售电话的成功

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计算器使用分步指南

负二项分布的实际应用

常见误区与正确方法

数学推导与公式