功效分析计算器 - 确定样本量与统计功效

什么是功效分析？

核心概念
错误类型
功效分析组成部分

统计功效是指假设检验在原假设为假时能正确拒绝原假设的概率。简单来说，就是研究在存在效应时检测到效应的能力。功效分析可在数据收集前（前瞻性）或后（事后）进行。前瞻性分析帮助确定检测特定效应所需的合适样本量，事后分析则根据效应量和样本量计算已完成检验的功效。

功效分析的四大支柱

功效分析围绕四个相互关联的组成部分：样本量（n）、显著性水平（α）、效应量和统计功效（1 - β）。已知其中任意三个即可推算第四个。这一关系对于设计既具统计稳健性又高效的研究至关重要。

I类与II类错误

在假设检验中，可能出现两类错误。I类错误（α，假阳性）是错误地拒绝真实的原假设。II类错误（β，假阴性）是未能拒绝错误的原假设。统计功效等于II类错误概率的补数（功效 = 1 - β）。

功效分析计算器使用步骤指南

选择分析类型
选择检验
解读结果

本计算器设计直观，但理解每一步可确保结果准确。流程包括选择分析类型、统计检验类型并输入已知参数。

1. 选择分析类型

首先确定是进行‘前瞻性’分析以查找所需样本量，还是‘事后’分析以确定已完成研究的功效。

2. 选择统计检验

根据数据和研究问题选择合适的检验类型（t检验、方差分析、卡方检验）。所需输入会随选择而变化。

3. 输入参数

填写效应量、显著性水平（alpha）及功效（前瞻性）或样本量（事后）的已知值。计算器将自动求解未知参数。

4. 解读输出

结果将显示所需样本量或已实现统计功效。输出还包括检验统计量的临界值，即显著性阈值。

实际计算场景

某研究者计划比较两种教学方法（t检验），预计中等效应量（d=0.5），希望功效为80%，alpha为0.05。计算器将确定所需学生人数。
某临床试验有100名患者，新药未显示显著效果。研究者可用事后分析判断研究是否有足够功效检测临床意义效应。

功效分析的实际应用

临床试验
学术研究
市场调研

功效分析不仅是学术练习，在各领域有重要意义。

确保临床试验有效性

在医学领域，功效不足的研究可能无法检测新药益处，功效过高则可能浪费资源并让参与者承担不必要风险。功效分析确保研究既合乎伦理又具科学性。

科研经费申请中的资源管理

资助机构通常要求功效分析以证明样本量合理。研究者需证明其研究有较高概率得出结论性结果。

商业A/B测试的验证

在市场营销中，功效分析帮助确定A/B测试中每个版本所需用户数，以有信心检测转化率差异，避免因数据不足得出过早结论。

常见误区与正确方法

事后功效谬误
标准化与非标准化效应量
功效‘走过场’

一些误解会导致功效分析被误用。

事后功效的问题

在研究结果不显著后计算功效存在争议。一些统计学家认为事后功效与p值冗余且无新信息。更好的做法是关注效应量的置信区间。但它对未来研究规划仍有参考价值。

选择合适的效应量

效应量应基于既往研究或实际意义的最小效应，而非仅凭‘小’‘中’‘大’等惯例。效应量估计不准是功效分析有效性的最大威胁。

避免‘功效走过场’

功效分析应成为研究设计不可或缺的一部分，而非仅为应付审批。它促使研究者认真思考假设、预期效应和资源。

数学推导与公式

非中心参数的作用
t检验公式
近似计算

功效分析的计算依赖于备择假设下检验统计量的分布，通常为非中心分布（如非中心t或F分布）。

非中心参数（NCP）

功效计算的关键是非中心参数（NCP）。NCP使检验统计量分布的中心远离零，反映效应量大小。对于双样本t检验，NCP（δ）约为d * √(n/2)，其中d为Cohen's d，n为总样本量。

功效计算

功效是非中心分布落在中心分布临界值之外的面积。具体来说，对于单尾检验，功效 = P(T > t_critical | δ)，T服从以δ为NCP的非中心t分布。计算器通过迭代算法求解未知参数（如样本量或功效），即找到满足功效方程的值。

简化公式示例（t检验）

对于单样本z检验，所需样本量n可近似为：n = ((Z_α/2 + Z_β) / d)²，其中Z_α/2为显著性水平的临界值，Z_β为期望功效的临界值，d为效应量。
若d=0.5，α=0.05（Z_α/2 ≈ 1.96），功效=0.8（β=0.2，Z_β ≈ 0.84），则n ≈ ((1.96 + 0.84) / 0.5)² ≈ (2.8 / 0.5)² = 5.6² ≈ 31.36。因此每组约需32名参与者。

t检验的前瞻性分析

方差分析的事后分析

卡方检验的前瞻性分析