几何分布计算器 - 即时概率计算

什么是几何分布？

核心概念定义
关键特征与假设
分布的两种变体

几何分布是一种离散概率分布，用于描述为获得首次成功所需的连续、独立伯努利试验次数。伯努利试验是只有两种可能结果（“成功”或“失败”）的随机实验，每次试验的成功概率相同。该分布主要用于分析直到特定事件发生的“等待时间”问题。

关键特征与假设

要使随机变量服从几何分布，需满足四个关键条件：试验相互独立；每次试验只有两种结果（成功或失败）；每次试验的成功概率 (p) 恒定；关注的变量是获得首次成功所需的试验次数。

分布的两种变体

需要区分几何分布的两种常见形式。一种是描述获得首次成功所需的试验次数 (k=1,2,3,...)；另一种是描述首次成功前的失败次数 (y=k-1, y=0,1,2,...)。本计算器聚焦于第一种形式，这也是初级统计中更常见的。

概念示例

抛硬币直到首次出现正面。
掷骰子直到掷出六点。
销售员打电话直到首次成交。

几何分布计算器使用分步指南

正确输入数据
选择合适的计算类型
解读结果

我们的计算器将复杂公式简化为易用界面。请按照以下步骤获得准确结果。

正确输入数据

首先输入“单次成功概率 (p)”，必须为0到1之间的数字。然后输入“试验次数 (k)”，即你关注首次成功发生在哪一次试验。该值必须为正整数。

选择合适的计算类型

选择四种概率类型之一：P(X = k) 表示恰好在第k次试验成功，P(X ≤ k) 表示在第k次或之前成功，P(X > k) 表示在第k次之后成功，P(X ≥ k) 表示在第k次或之后成功。你的选择取决于具体问题。

解读结果

计算器会给出主要概率结果，以及均值（期望试验次数）、方差和标准差等关键统计量。分布表则展示首次成功发生在不同试验次数上的概率分布。

示例计算演示

若p=0.2且k=3，选择P(X=k)，计算首次成功恰好发生在第3次试验的概率。
若p=0.1且k=5，选择P(X≤k)，计算首次成功发生在第1至第5次试验的概率之和。

几何分布的实际应用

商业与质量控制
科学与研究
日常生活

几何分布不仅是理论概念，在各领域有众多实际应用。

商业与质量控制

在制造业中，可用来确定在发现次品前需检查的平均产品数量，有助于质量保证流程和资源分配。

科学与研究

在生物学中，可用于建模某实验结果（如基因复制成功）所需尝试次数。在医学中，可用于建模患者首次产生积极反应所需治疗次数。

日常生活

该分布在日常生活中也常见，如掷骰子直到出现特定点数，或投递简历直到获得录用。

应用场景

市场调研员不断询问，直到有人同意某观点。
钓鱼者不断抛竿，直到钓到第一条鱼。

数学推导与公式

概率质量函数 (PMF)
累积分布函数 (CDF)
均值、方差与标准差

理解几何分布背后的公式有助于深入把握概率的计算方式。

概率质量函数 (PMF)

首次成功发生在第k次试验的概率公式为：P(X = k) = (1 - p)^(k-1) * p。即前(k-1)次失败后第k次成功。

累积分布函数 (CDF)

首次成功发生在第k次或之前的概率公式为：P(X ≤ k) = 1 - (1 - p)^k。通常比逐项相加更易计算。

均值、方差与标准差

关键统计量计算如下：均值 (μ) = 1/p；方差 (σ²) = (1 - p) / p²；标准差 (σ) 为方差的平方根。

公式示例

若p=0.25，均值为1/0.25=4。即平均等待4次试验获得首次成功。
若p=0.5，方差为(1-0.5)/0.5²=0.5/0.25=2。

首次命中投篮

发现有缺陷产品

掷出六点

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