决定系数 (R²) 计算器 | 免费在线工具

决定系数（R²）是统计分析中的一个关键指标，尤其在回归模型中。它表示因变量方差中可由自变量预测的比例。简单来说，R² 衡量回归线（模型）对观测数据的拟合程度。R² 为 100% 时，模型完美解释了响应数据的变异性；R² 为 0% 时，模型无法解释任何变异性。

R² 与调整后 R² 的区别

虽然 R² 是一个有用的指标，但它有一个局限性：即使添加无关自变量，R² 也不会降低，这可能会产生误导。而调整后 R² 则考虑了模型中的预测变量数量，只有当新变量比偶然情况更能改善模型时才会增加。因此，在比较不同自变量数量的模型时，调整后 R² 更可靠。

我们的计算器简化了 R² 的计算流程。使用方法如下：

1. 数据输入

您需要两组数据：自变量（X 值）和因变量（Y 值）。将它们以逗号分隔的列表输入各自的文本框。确保两组数据点数量相同。

2. 计算

点击“计算”按钮，工具会立即执行线性回归分析。

3. 解读输出

结果卡片不仅显示 R² 和调整后 R²，还显示相关系数 (r)、数据点数量 (n) 以及最佳拟合线的方程。这为您提供了变量关系的全面视图。

R² 不仅是学术概念，在各领域有广泛应用。

在金融领域

分析师用 R² 衡量共同基金或股票的变动有多少可由基准指数（如标普 500）解释。高 R² 表明基金表现很大程度上与指数一致。

在社会科学领域

研究人员可能用 R² 判断教育水平和工作年限等因素对收入的预测能力。这有助于理解经济结果的驱动因素。

高 R² 往往被视为好现象，但正确解读它以避免统计谬误至关重要。

对于感兴趣数学原理的用户，R² 来源于两个关键部分：

公式

1. 总平方和 (SStot)：衡量 Y 值的总方差。公式：SStot = Σ(yᵢ - ȳ)²，其中 yᵢ 为每个观测值，ȳ 为 Y 的均值。

2. 残差平方和 (SSres)：衡量模型未能解释的方差。即观测值 (yᵢ) 与预测值 (ŷᵢ) 之差的平方和。公式：SSres = Σ(yᵢ - ŷᵢ)²。

3. R²：公式为 R² = 1 - (SSres / SStot)。即 R² 等于 1 减去未解释方差的比例。