三次回归计算器

回归与预测模型

输入您的数据点（x, y），计算三次回归方程、系数和决定系数（R²）。

示例

点击示例将数据加载到计算器中。

简单递增曲线

基础

数据点遵循明显上升的三次趋势的基本示例。

数据点:

1, 2
2, 5
3, 18
4, 45
5, 90

经济增长模型

经济

模拟5年内的短期经济增长模式。

数据点:

2018, 102.5
2019, 105.1
2020, 103.9
2021, 108.2
2022, 115.3

材料应力-应变测试

材料

材料科学实验中显示非线性行为的数据。

数据点:

0.1, 5
0.2, 12
0.3, 23
0.4, 40
0.5, 61

种群动态

种群

表示某物种随时间变化的种群数量的数据集。

数据点:

0, 500
10, 550
20, 620
30, 780
40, 1100
50, 1500
其他标题
理解三次回归：全面指南
深入了解三次回归计算器背后的概念、应用和数学原理。

什么是三次回归？

  • 三次模型定义
  • 与线性和二次回归的区别
  • 目标：最小化误差
三次回归是一种统计方法，用于在自变量（X）和因变量（Y）之间建立三次（即三阶多项式）趋势的关系模型。它通过创建如下形式的方程来找到数据点的‘最佳拟合线’：Y = aX³ + bX² + cX + d。
与拟合直线的线性回归或拟合抛物线的二次回归不同，三次回归可以捕捉更复杂的S形或N形曲线，具有两个拐点。这使其非常适合变化速率本身也在变化的数据集。
最小二乘原理
三次回归的核心是最小二乘法。计算器确定系数（a, b, c, d）的值，使实际Y值与三次方程预测Y值之间的平方差之和最小化，从而确保拟合曲线与数据最接近。

三次回归计算器使用分步指南

  • 正确输入数据
  • 解读结果
  • 进行预测
1. 数据输入
首先在‘数据点’文本区输入您的数据点。每个点包含一个X和一个Y值。X和Y可用逗号或空格分隔，每对（X, Y）单独一行。三次回归至少需要四个数据点。
2. 计算
输入数据后，点击‘计算’按钮。工具会立即处理这些点。
3. 分析输出
计算器会输出几个关键结果：回归方程（最佳拟合三次方程）、系数（a, b, c, d）和决定系数（R²），R²越接近1说明拟合越好。

三次回归的实际应用

  • 经济与金融
  • 生物与环境科学
  • 工程与材料科学
三次回归是许多领域建模复杂关系的多功能工具。
经济与金融
分析师用三次回归建模经济指标，如产品生命周期或某些股票价格模式，表现为快速增长、稳定和衰退阶段。
生物与环境科学
可用于建模种群动态，如种群增长、超越承载力后下降等。也用于分析酶动力学或体内物质浓度随时间变化。
工程
在材料科学中，用于描述材料在受力下表现出的复杂非线性应力-应变行为。

理解R平方值

  • R²代表什么
  • 如何解读R²
  • R²的局限性
什么是决定系数 (R²)?
R平方值（决定系数）是衡量数据与拟合回归线接近程度的统计量。它表示因变量（Y）的方差中有多少可以通过自变量（X）预测。
如何解读R²
R²取值范围为0到1。R²为1表示完美拟合，0表示模型无法解释任何变异。例如，R²为0.95表示Y的95%变异可由X的三次关系解释。
重要说明
虽然R²高是好事，但不一定代表模型拟合良好。有时数据中的模式未被模型捕捉，即使R²很高。请结合数据背景并尽量可视化拟合效果。

数学推导

  • 方程组
  • 矩阵表示
  • 系数求解
系数a、b、c、d通过求解四元一次线性方程组（正规方程）获得。这些方程通过微积分推导，目的是最小化平方误差之和。
矩阵形式
该方程组可优雅地用矩阵形式AX = B表示，其中A为X的幂和组成的4x4矩阵，X为系数向量（a, b, c, d），B为X和Y的乘积和向量。
计算器通过A⁻¹B求解X，其中A⁻¹为A的逆矩阵。此计算手工复杂，但由如math.js等计算库高效完成。