Z、t、卡方和F分布临界值计算器

什么是临界值？

边界的定义
显著性水平（α）的作用
单尾与双尾检验

在假设检验中，临界值是检验统计量的一个界点，超出该点我们将拒绝原假设（H₀）。它将‘拒绝域’与‘非拒绝域’分开。如果您的数据计算出的检验统计量落入拒绝域，则有统计学意义上的证据拒绝原假设。

显著性水平（α）的作用

显著性水平（α）决定了拒绝域的大小。它是犯第一类错误（即原假设为真时被拒绝）的概率。常用的α为0.05，对应5%的第一类错误概率或95%的置信水平。临界值直接由α和所选分布决定。

单尾与双尾检验

检验类型也会影响临界值。‘双尾检验’将α分配到分布的两端，适用于检测任意方向的差异。‘单尾检验’（左尾或右尾）将全部α分配到一端，适用于有特定方向假设的情形（如只关心新药‘更好’而非‘不同’）。

计算器使用分步指南

选择正确的分布
设置关键参数
解读结果

1. 选择正确的分布

分布的选择至关重要。大样本（n > 30）或已知总体方差时用‘Z（正态分布）’；小样本（n ≤ 30）且总体方差未知时用‘t（学生t分布）’；独立性或方差检验用‘卡方（χ²）’；比较两组及以上方差（如方差分析）用‘F分布’。

2. 设置关键参数

输入显著性水平（α）、自由度（如适用），并选择尾部类型（左、右或双尾）。计算器会根据分布类型自动显示或隐藏相关字段。

3. 解读结果

计算器会给出‘临界值’和‘拒绝域’。例如，右尾检验结果为临界值1.96，则拒绝域为‘检验统计量 > 1.96’。若您的检验统计量为2.10，则落入拒绝域，应拒绝原假设。

临界值的实际应用

医学研究
制造业质量控制
金融与经济学

临界值不仅是理论概念，在实际决策中每天都被广泛应用。

医学研究

研究人员用t检验及其临界值判断新药是否优于安慰剂。通过比较处理组与对照组的均值差异，判断差异是否有统计学意义。

制造业质量控制

工厂可用Z检验检查生产螺栓的平均直径是否达标。临界值帮助判断批次是否需要被拒收。

金融与经济学

经济学家用F检验（如方差分析）判断不同教育水平的平均收入是否有显著差异。临界F值是判断的基准。

常见误区与正确方法

混淆临界值与p值
忽视分布假设
α水平的灵活性

临界值 vs. p值

常见混淆点：‘临界值法’是将检验统计量与固定基准（临界值）比较；‘p值法’是计算在原假设为真时，观察到当前或更极端统计量的概率。结论一致：若p值 < α，则拒绝H₀，与统计量落入拒绝域等价。

忽视分布假设

小样本且总体方差未知时用Z检验是常见错误。每种统计检验都有前提假设（如正态性、方差齐性），违背假设会导致结论错误。务必确保数据满足检验要求。

α水平的灵活性

虽然α = 0.05很常用，但并非唯一标准。α的选择应结合实际场景：若第一类错误代价高（如新药安全），应选更小α（如0.01）；探索性研究可用更大α（如0.10）。

数学推导与示例

逆累积分布函数（CDF）
双尾Z检验示例
右尾t检验示例

逆累积分布函数（CDF）

数学上，临界值通过累积分布函数（CDF）的反函数（分位数函数）获得。CDF给出随机变量小于等于x的概率，分位数函数则反过来：给定概率p，返回P(X ≤ x) = p时的x值。

双尾Z检验临界值推导示例

以α = 0.05的双尾Z检验为例，将α分到两端：每端α/2 = 0.025。右端需查Z分数使左侧面积为1-0.025=0.975。查逆正态CDF：Z = Φ⁻¹(0.975) ≈ 1.96。左端Z = Φ⁻¹(0.025) ≈ -1.96。故临界值为±1.96。

右尾t检验临界值推导示例

以α = 0.01、自由度24的右尾t检验为例，需查左侧面积为1-0.01=0.99的t分数。查逆t分布CDF得t = t⁻¹(0.99, df=24) ≈ 2.492。拒绝域为t > 2.492。

双尾Z检验

右尾t检验

卡方独立性检验

F检验（方差分析）

什么是临界值？

计算器使用分步指南

临界值的实际应用

常见误区与正确方法

数学推导与示例