蒙提霍尔问题模拟器

概率与随机性

运行经典游戏节目问题的模拟，看看是坚持选择还是更换选择更有利。

示例

通过不同模拟次数，看看概率如何变化。

100次模拟

低次数

少量模拟，快速感受问题。

模拟次数: 100

1,000次模拟

标准

标准模拟次数，概率开始趋于稳定。

模拟次数: 1000

10,000次模拟

高次数

大量模拟，更接近理论概率。

模拟次数: 10000

100,000次模拟

极高次数

极大量模拟，统计结果极为准确。

模拟次数: 100000

其他标题
理解蒙提霍尔问题：全面指南
深入探讨这个著名概率谜题的逻辑、数学与常见误区。

什么是蒙提霍尔问题？

  • 游戏节目设定
  • 反直觉的选择
  • 为何成为谜题
蒙提霍尔问题是一道脑筋急转弯，以概率谜题的形式出现，灵感来源于美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》，并以其原主持人蒙提·霍尔命名。问题如下：假设你在一个游戏节目中，有三扇门可选。一扇门后是汽车，另外两扇门后是山羊。你选择了一扇门，比如1号门，主持人（知道门后内容）打开了另一扇有山羊的门，比如3号门。然后他问你：‘你想换成2号门吗？’ 换门是否更有利？
困境
本质上，这个问题让直觉与概率法则产生冲突。大多数人认为，剩下的两扇门各有1/2的机会藏有汽车。这种直观但错误的假设，使得该问题著名且极具教育意义。

蒙提霍尔问题模拟器使用指南

  • 运行模拟
  • 解读结果
  • 尝试示例
工作原理
我们的模拟器可以让你瞬间测试蒙提霍尔问题成千上万次。使用方法如下：
1. 在输入框中输入所需的模拟次数。建议至少从1,000次开始以获得清晰结果。
2. 点击‘运行模拟’按钮。
3. 查看两种策略的结果：‘始终坚持’和‘始终更换’。
分析输出
结果部分会显示两种策略的获胜次数、失败次数和总体胜率。你会发现‘始终更换’策略的胜率约为66.7%，而‘始终坚持’策略约为33.3%，这与数学解答一致。

蒙提霍尔问题的现实应用

  • 不确定性下的决策
  • 认知偏差
  • 科学研究
虽然看似简单，但蒙提霍尔问题的原理在多个领域有应用。
经济与金融
在金融市场，投资者常常需要在信息不完全的情况下做决策。蒙提霍尔问题教会我们，在获得新信息时应及时调整判断和策略，而不是固守最初的选择。
医学
在医学诊断中，医生会随着各种检测结果的出现不断修正疾病概率。这一过程类似于主持人打开一扇门提供新信息，从而改变最初诊断的概率。

常见误区与正确逻辑

  • ‘五五开’谬论
  • 主持人知情的关键
  • 更换的力量
‘五五开’谬论
最常见的误区是，主持人打开一扇有山羊的门后，剩下两扇门各有50%概率。其实不然，因为主持人的行为不是随机的，他总是打开有山羊的门，从不打开你选的门。这一行为提供了关键信息。
正确逻辑
你最初选择的门有1/3概率正确，剩下两扇门有2/3概率藏有汽车。当主持人打开其中一扇有山羊的门后，这2/3的概率全部集中到唯一剩下的那扇门上。你原本选择的门概率仍为1/3。因此，更换是更优策略。

更换的数学证明

  • 逐案分析
  • 条件概率
  • 贝叶斯定理应用
简单的逐案分析
我们根据最初选择分析结果：
情况1：你最初选中汽车（概率1/3）。主持人打开一扇有山羊的门。如果你更换，则失败；坚持则获胜。
情况2：你最初选中山羊（概率2/3）。主持人只能打开另一扇有山羊的门。如果你更换，必定获胜；坚持则失败。
总结：‘坚持’策略只在情况1（1/3概率）获胜，‘更换’策略在情况2（2/3概率）获胜。
条件概率（贝叶斯定理）
设C1、C2、C3分别表示汽车在1、2、3号门后，H2表示主持人打开2号门。假设你选了1号门。我们要求P(C3|H2)，即在主持人打开2号门后汽车在3号门的概率。贝叶斯定理证明该概率为2/3，证实更换是最优选择。