皮尔逊相关系数计算器

分析两组数据之间的线性关系。

输入两组数据，计算皮尔逊相关系数 (r)，衡量线性关联。计算器还提供r平方、协方差及其他关键统计量。

实际示例

探索不同场景，理解皮尔逊相关系数的应用。

强正相关

强正相关

一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加。本例展示了近乎完美的正线性关系。

X值: 10, 20, 30, 40, 50

Y值: 15, 25, 35, 45, 55

强负相关

强负相关

一个变量增加时，另一个变量倾向于减少。本例展示了强负线性关系。

X值: 5, 10, 15, 20, 25

Y值: 50, 40, 30, 20, 10

弱/无相关

弱/无相关

变量之间没有明显的线性关系，点分布较为随机。

X值: 1, 5, 2, 8, 9, 4, 6, 7, 3, 10

Y值: 7, 2, 9, 4, 5, 1, 8, 3, 10, 6

实际案例：学习时间与考试成绩

实际案例

经典教育案例，探讨学习时间与期末考试成绩之间的关系。

X值: 2, 3, 5, 6, 8

Y值: 65, 70, 75, 80, 90

其他标题
理解皮尔逊相关系数：全面指南
深入了解统计学中最常用的线性相关度量之一。

什么是皮尔逊相关系数？

  • r值的定义
  • 系数大小和符号的解释
  • 皮尔逊相关的假设条件
皮尔逊相关系数（记作r）是衡量两组数据之间线性相关程度的指标。它是两个变量协方差与其标准差乘积的比值，因此本质上是协方差的归一化度量，结果始终在-1到1之间。
r值的解释
r值表示关系的强度和方向。正号（+）表示一个变量增加时另一个变量也增加（正相关）；负号（-）表示一个变量增加时另一个变量减少（负相关）。r的绝对值表示关系的强度，1或-1表示完全线性关系，0表示没有线性关系。
关键假设
要使皮尔逊r成为有效度量，需满足若干假设：线性关系（关系应为线性）、正态性（变量应服从正态分布）、方差齐性（方差应一致）。

计算器使用分步指南

  • 数据输入
  • 计算与重置
  • 结果解读
我们的计算器将流程简化为几个简单步骤。
1. 数据输入
您将看到两个输入框，分别标有“X值”和“Y值”。请在相应框中输入每个变量的数值，用逗号分隔。两组数据的数量必须完全相同。
2. 计算
输入数据后，点击“计算”按钮，工具会立即处理并显示结果。
3. 结果解读
结果部分将详细展示皮尔逊系数（r）、决定系数（r²）、样本量、均值、标准差及r值的通俗解释。

皮尔逊相关的实际应用

  • 商业与经济学
  • 社会科学与心理学
  • 医学与生物研究
皮尔逊相关广泛应用于各领域以发现变量间关系。
金融与经济学
分析师用它来衡量两只股票价格变动的相关性以实现投资组合多样化，或观察利率变化对股市的影响。
心理学
研究人员可能会测试屏幕时间与青少年焦虑水平之间的相关性，或IQ分数与学业成绩之间的关系。
医学研究
科学家可以用它来判断特定药物剂量与血压降低之间的相关性，或睡眠时间与免疫反应之间的关系。

常见误区与正确方法

  • 相关≠因果
  • 离群值的影响
  • 非线性关系
相关不等于因果
这是统计学中最重要的原则。即使两个变量高度相关，也不代表一个导致另一个。可能存在第三个混杂变量影响两者。例如，冰淇淋销量与鲨鱼袭击相关，但原因是第三个变量：炎热天气。
离群值的影响
皮尔逊系数对离群值非常敏感。一个远离其他点的数据会极大改变r值，使其变强或变弱。建议用散点图可视化数据以识别离群值。
处理非线性关系
皮尔逊r只衡量线性关系。如果变量间关系呈曲线（如U型），r值可能接近0，误导性地显示无关系。这种情况下可考虑斯皮尔曼等级相关等方法。

数学公式与推导

  • 样本相关公式
  • 计算公式
  • 手动计算示例
对于对计算原理感兴趣的用户，样本皮尔逊相关系数（r）的公式为：r = Σ((xi - x̄)(yi - ȳ)) / sqrt(Σ(xi - x̄)² * Σ(yi - ȳ)²)。
其中：
n为样本量，xi和yi为各自样本点，x̄为x的均值，ȳ为y的均值。
计算公式
更直接、计算更简便的公式常被采用：r = [n(Σxy) - (Σx)(Σy)] / sqrt([nΣx² - (Σx)²][nΣy² - (Σy)²])。这种形式避免了先计算均值，手算时更不易出现舍入误差。