生日悖论的数学基础涉及概率论、组合分析和计算数学，揭示了这一现象更深层的奥秘。
精确数学推导：
采用互补法，P(全不同) = (365/365) × (364/365) × ... × ((365-n+1)/365)。
可表示为P(全不同) = 365!/(365^n × (365-n)!)，或∏(k=0到n-1)(1 - k/365)。
所求概率为P(至少一对相同) = 1 - P(全不同)，即为精确解析解。
近似方法：
n较大时，可用P(全不同) ≈ e^(-n(n-1)/(2×365))近似，源自ln(1-x) ≈ -x的泰勒展开。
该指数近似在大群体时计算更高效且精度极佳。
计算注意事项：
直接阶乘计算大n时易溢出，推荐用迭代乘法：P = 1；i从1到n-1，P *= (365-i)/365。
对数计算可提升数值稳定性：ln(P) = Σ(k=0到n-1) ln(1 - k/365)。
广义扩展：
生日悖论可推广到任意N个等可能结果的场景：P(碰撞) = 1 - ∏(k=0到n-1)(1 - k/N)。
非均匀生日分布时，P(全不同) = ∏(所有排列) P(第i人生日为第j天)，计算更复杂。
高级变体包括“生日间隔”问题（分析生日间隔分布）及多维生日问题（多特征匹配）。