悖论的核心在于一个微妙的数学错误。简单的期望值计算并不适用于此。
错误之处：变量并不相同
错误出在期望值计算的设定。设较小金额为 A。你的信封 X 是一个随机变量，可以是 A 或 2A。另一个信封 Y 取决于 X。如果 X=A，则 Y=2A；如果 X=2A，则 Y=A。计算 E(Y|X=x) = 1.25x 是错误的，因为公式中的两个“X”分别对应不同的世界状态。你拿到较小金额时的“X”与拿到较大金额时的“X”不是同一个值。
解决方法：使用合适的概率分布
关键的解决方法是认识到金额 A 不可能从所有正数的均匀分布中选取（这种分布并不存在）。在任何现实场景中，A 的初始值都有概率分布 p(a)。一旦你为 A 定义了合适的先验分布，就可以用贝叶斯推理。对于观察到的 X，可以计算你拿到 A 还是 2A 的后验概率。通常会得出并非总是换信封最优。例如，如果你看到一个极大的金额，更可能你拿到的是 2A。