骰子概率的数学基础涉及离散概率论、组合数学和高级统计概念，为理解随机结果提供严谨基础。
概率质量函数（PMF）：
对于面值为{x₁, x₂, ..., xₙ}的单个骰子，PMF为P(X = xᵢ) = 1/n（均匀分布）。期望值E[X] = Σ xᵢ × P(X = xᵢ) = (1/n) × Σ xᵢ。
多个骰子的和S = X₁ + X₂ + ... + Xₖ，期望值E[S] = Σ E[Xᵢ]（期望线性性）。方差为Var(S) = Σ Var(Xᵢ)（独立随机变量）。
卷积与和的分布：
骰子和的概率分布涉及单个PMF的卷积。对于两个骰子X和Y，P(S = k) = Σ P(X = i) × P(Y = k-i)，对所有有效i求和。
这形成了多骰系统中典型的三角形或钟形分布，中心值概率高，因为有多种方式实现。
矩母函数：
骰子X的矩母函数为MX(t) = E[e^(tX)] = (1/n) × Σ e^(txᵢ)。独立骰子和的矩母函数MS(t) = Π M_Xᵢ(t)，可高效计算矩和分布。
高阶矩可由E[X^k] = MX^(k)(0)得到，MX^(k)为矩母函数的k阶导数。可得偏度、峰度等分布特征。
中心极限定理应用：
随着骰子数量增加，标准化和(S - E[S])/√Var(S)趋于标准正态分布。大骰子和可用正态分布近似。
n个骰子，均值μ，方差σ²，总和均值nμ，方差nσ²。标准化和趋于N(0,1)，可用正态表查概率。
生成函数与组合数学：
概率生成函数GX(s) = E[s^X] = Σ P(X = k) × s^k。骰子和的生成函数GS(s) = Π G_Xᵢ(s)。
展开后s^k的系数即为P(S = k)，适用于复杂骰子组合的概率直接计算。
高级应用：
- 特征函数：φ_X(t) = E[e^(itX)]，用于复分析和分布识别（傅里叶方法）。
- 次序统计量：分析多骰掷出的最小值、最大值和第k大值的分布，用于极值分析。
- 马尔可夫链：用骰子结果作为状态，分析游戏过程和随机游走模型。