韦布尔分布计算器

分布与统计模型

输入形状参数（k）、尺度参数（λ）和数值（x），分析韦布尔分布。

实际示例

探索不同场景，了解韦布尔分布在实际中的应用。

轴承失效分析

部件可靠性

工程师正在分析新型轴承的可靠性。根据测试数据，估算形状参数（k）为 2.1，尺度参数（λ）为 8500 小时。他们想要计算 7000 小时内的失效概率。

k: 2.1h, λ: 8500h, x: 7000h

风速建模

风速分析

气象学家用韦布尔分布（k=1.8，λ=12 mph）建模每日平均风速。他们需要计算风速正好为 15 mph（PDF）和小于等于 15 mph（CDF）的概率。

k: 1.8h, λ: 12h, x: 15h

递减失效率

婴儿死亡率

在建模婴儿死亡率或软件修复后 bug 等现象时，失效率随时间递减。可用 k < 1 建模。这里用 k=0.8、λ=5（月），分析第 3 个月的概率特征。

k: 0.8h, λ: 5h, x: 3h

指数分布情形

常数失效率

当 k=1 时，韦布尔分布简化为指数分布，适用于常数失效率（如随机硬件故障）。来看 k=1、λ=500 小时，在 500 小时时的各项指标。

k: 1h, λ: 500h, x: 500h

其他标题
理解韦布尔分布：全面指南
深入解析最常用的寿命数据分析分布之一。

什么是韦布尔分布？

  • 核心概念
  • 关键参数
  • 多样性
韦布尔分布是一种连续概率分布，在可靠性工程、生存分析和工业工程中广泛用于建模失效时间。它能模拟其他分布（如正态、指数）的特性，是寿命数据分析的有力工具。
参数作用：形状与尺度
该分布由两个主要参数定义：形状参数（k）和尺度参数（λ）。有时还会有第三个参数——位置参数（γ），表示无失效期，但通常假定为零。k 决定分布曲线形状和失效率特性，λ 决定分布在时间轴上的伸缩。
为何应用广泛？
其最大优势是可模拟多种失效率行为。调整 k 可描述失效率递减（k < 1）、常数（k = 1，即指数分布）或递增（k > 1）的系统，适合描述产品从早期失效到磨损失效的各阶段。

韦布尔分布计算器使用步骤

  • 参数输入
  • 执行计算
  • 结果解读
本计算器简化了韦布尔分布的分析流程。按以下步骤操作即可获得结果。
1. 输入形状参数 (k)
输入形状参数（又称韦布尔模数），必须为正值。该值反映失效机制。
2. 输入尺度参数 (λ)
输入尺度参数（又称特征寿命），也必须为正值。它表示 63.2% 个体预计失效的时间。
3. 输入数值 (x)
这是你想计算概率的具体时间点或数值，必须为非负数。
4. 点击“计算”
计算器会立即给出完整结果，包括 PDF、CDF、生存概率及均值、中位数、方差等关键统计量。

韦布尔分布的实际应用

  • 可靠性工程
  • 风速分析
  • 生物与医学建模
韦布尔分布的多样性使其在众多领域有广泛应用。
产品寿命与保修分析
企业用韦布尔分析预测一定时期内的失效数量，有助于设定保修期、备件库存和维修成本评估。
气象预测
气象学家用韦布尔分布建模风速分布，这对风电场选址和发电量评估至关重要。
医学中的生存分析
医学研究中，韦布尔分布用于建模治疗后患者的生存时间。k 的取值可反映随时间风险的变化。

常见误区与正确方法

  • 混淆形状与尺度
  • 假设寿命数据服从正态分布
  • 忽略位置参数
韦布尔分布虽强大，但有时被误解。澄清这些问题有助于准确分析。
误区：形状参数只是抽象数字
更正：形状参数（k）有明确物理意义。k < 1 表示早期失效，k = 1 表示随机失效（常数率），k > 1 表示磨损失效。选对 k 对模型有效性至关重要。
误区：所有寿命数据都服从正态分布
更正：与总是对称的正态分布不同，寿命数据常常偏态。韦布尔分布本身灵活，能有效建模右偏数据，这在失效时间分析中很常见。
误区：位置参数总为零
更正：本计算器为简化假设位置参数（γ）为零（即 t=0 时可失效），但实际中可能存在无失效期，此时需用三参数韦布尔分布（γ > 0）。

数学推导与公式

  • 概率密度函数 (PDF)
  • 累积分布函数 (CDF)
  • 关键统计量
以下是韦布尔分布计算器核心公式。
概率密度函数 (PDF)
PDF，f(x)，描述随机变量等于特定值 x 的相对可能性。公式为：f(x; k, λ) = (k/λ) (x/λ)^(k-1) e^(-(x/λ)^k)
累积分布函数 (CDF)
CDF，F(x)，给出随机变量小于等于 x 的概率。公式为：F(x; k, λ) = 1 - e^(-(x/λ)^k)
均值与方差
均值（期望寿命）和方差需用到伽马函数（Γ）。均值 = λ Γ(1 + 1/k)。方差 = λ^2 [Γ(1 + 2/k) - (Γ(1 + 1/k))^2]。