误差传播计算器 | 计算不确定度

误差传播（或不确定度传播）是一种统计方法，用于确定由多个具有各自测量不确定度的变量计算得出的最终结果的不确定度。每当你在实验中测量一个量时，总会有一定的不确定度。当你用这些有不确定度的测量值去计算其他量时，原始测量的不确定度会‘传播’到最终结果。该计算器帮助你量化最终的不确定度。

科学中的重要性

在科学研究中，报告结果而不附带其不确定度是不完整的。这就像报告一个位置却不给出你可能所在区域的范围。不确定度传播对于将结果与理论值或其他实验进行比较、得出有效结论以及理解测量局限性至关重要。

1. 选择公式类型

计算器提供了两种主要的误差传播模型，涵盖了广泛的应用：‘加法/减法 (z = ax + by)’和‘乘法/幂 (z = k x^a y^b)’。请选择与你变量间数学关系相符的公式。

2. 输入数值和不确定度

选择公式后，将出现用于输入测量值（x, y）、其绝对不确定度（Δx, Δy）以及任何常数（a, b, k）或指数（a, b）的输入框。请确保所有不确定度均为非负值。

3. 计算并分析

点击‘计算’即可查看结果。计算器将提供三个关键输出：最终计算值（Z）、该值的绝对不确定度（ΔZ）以及相对不确定度（%ΔZ），后者显示不确定度占最终结果的百分比，有助于理解误差的大小。

加法/减法: z = ax ± by

对于加法和减法，绝对不确定度以二次方和的方式相加。Δz的公式为：Δz = sqrt((a Δx)^2 + (b Δy)^2)。无论是加还是减，不确定度都要相加。

乘法/幂: z = k x^a y^b

对于乘法和除法，相对不确定度以二次方和的方式相加。相对不确定度（Δz / |z|）的公式为：(Δz / |z|) = sqrt((a Δx / x)^2 + (b Δy / y)^2)。绝对不确定度Δz可通过将相对不确定度乘以z的绝对值得到。

物理：计算速度

如果你测量距离（d）和时间（t）来计算速度（v = d/t），则距离和时间测量中的不确定度会传播到计算得到的速度。这是典型的乘法/幂规则案例（v = d^1 * t^-1）。

化学：滴定

在滴定实验中，你可能需要测量滴定管的初始和最终体积。交付体积的不确定度可通过对初始和最终读数的不确定度应用加法/减法规则来获得。

工程：公差累积

工程师使用误差传播分析机械装配中的公差累积。如果多个零件有尺寸公差（不确定度），则可计算总装配的公差，以确保其正常工作。

误区：直接相加不确定度。

一个常见错误是直接将绝对不确定度相加（如Δz = Δx + Δy）。这会高估总误差。正确方法是以二次方和的方式相加（即先平方后相加再开方），这样才能反映误差的统计独立性。

误区：相减会减少总误差。

当两个非常接近的大数相减时，结果可能很小，但相对不确定度会变得很大。不确定度总是相加的，即使量本身在相减时也不会抵消。