协方差计算器 | 样本与总体协方差

协方差是一种统计度量，表示两个随机变量同步变化的程度。它衡量两个变量之间的方向性关系。正协方差表示变量同向变化，负协方差表示变量反向变化，协方差为零表示没有线性关系。

样本与总体协方差

区分非常重要。总体协方差用于您拥有整个总体数据时。样本协方差用于只有部分数据且想推断总体协方差时。公式在分母上略有不同（总体用 n，样本用 n-1）。

1. 输入数据集

将变量 X 和 Y 的数值数据输入各自字段。确保用逗号分隔，并且两组数据数量相同。

2. 选择样本或总体

选择合适的计算类型。这取决于您的数据是完整总体还是样本。

3. 解释输出结果

计算器将提供协方差值、两组数据的均值、数据对数以及皮尔逊相关系数（协方差的标准化版本）。

协方差在金融领域广泛用于构建多元化投资组合。通过选择负协方差的资产，投资者可以降低整体风险。在生物学中，用于研究不同遗传特征的相关性。在市场营销中，可分析广告投入与销售之间的关系。

协方差不是相关性

虽然相关，但两者并不相同。协方差的大小未标准化，难以直接解释。协方差值大不一定关系更强。相关性则标准化在 -1 到 1 之间，更适合衡量线性关系强度。

协方差不代表因果关系

非零协方差表示两个变量共同变化，但不代表一个变量导致另一个变量变化。可能存在影响两者的第三个混杂变量。

样本协方差公式

Cov(X, Y) = Σ [ (xi - μx) * (yi - μy) ] / (n - 1)

总体协方差公式

Cov(X, Y) = Σ [ (xi - μx) * (yi - μy) ] / n

其中：xi 和 yi 为各自数据点，μx 和 μy 为数据集均值，n 为数据点数量。