正态分布计算器 - PDF, CDF, Z分数

什么是正态分布？

钟形曲线
主要特征
标准正态分布

正态分布，又称高斯分布，是一种以对称钟形曲线为特征的连续概率分布。它是统计学中最重要的分布，许多自然现象（如身高、测量误差）都近似服从正态分布。

主要特征

正态分布的形状和位置由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。均值表示分布的中心，标准差衡量数据点围绕均值的离散程度。标准差越小，曲线越窄越高；标准差越大，曲线越宽越矮。

标准正态分布

标准正态分布是均值为0、标准差为1的特殊正态分布。任何正态分布都可以通过Z分数公式：Z = (X - μ) / σ 转换为标准正态分布。这种标准化便于不同分布间的比较，也简化了概率计算。

主要性质：

关于均值（μ）对称。
均值、中位数和众数相等。
曲线下的总面积为1（或100%）。

正态分布计算器使用步骤

选择计算类型
输入参数
解读结果

本计算器操作简便，按以下步骤进行计算：

1. 选择计算类型

在下拉菜单中选择您要计算的内容：P(X < x) 表示小于x的概率，P(X > x) 表示大于x的概率，P(a < X < b) 表示介于a和b之间的概率。

2. 输入分布参数

输入数据集的均值（μ）和标准差（σ），标准差必须为正数。

3. 输入感兴趣的值

根据第1步的选择，输入“x”值，或下界“a”和上界“b”。

4. 解读结果

计算器将为您的输入值提供Z分数、概率密度函数（PDF）值和累积概率。Z分数表示该值距离均值的标准差数，概率结果则根据所选类型给出相应概率。

正态分布的实际应用

制造业质量控制
金融与经济学
自然与社会科学

正态分布的应用领域极为广泛。

质量控制

在制造业中，产品尺寸（如螺丝直径）通常服从正态分布。企业据此设定公差范围并判断产品是否合格。

金融

资产收益常被假定为正态分布，这是Black-Scholes期权定价模型等金融模型的基础，有助于风险评估和未来价格建模。

自然与社会科学

许多生物测量（如身高、体重、血压）和心理指标（如智商、考试成绩）大致服从正态分布，便于研究者定义“正常”范围和识别异常值。

示例场景：考试成绩

如果某班考试成绩服从均值为75、标准差为10的正态分布，老师可以计算分数高于90（A等）或低于60（不及格）的学生比例。

常见误区与正确方法

并非所有数据都服从正态分布
PDF的含义
对称性是关键

正态性假设

常见错误是假定所有数据集都服从正态分布。虽然许多数据确实如此，但应先用直方图或统计检验（如Shapiro-Wilk）验证正态性。将正态分布原理应用于非正态数据会导致错误结论。

理解PDF

概率密度函数（PDF）的值本身不是概率。对于连续分布，某一精确点的概率为零。PDF表示某值的相对可能性。概率需通过区间积分（即CDF）获得。

对称性的重要性

正态分布的对称性是核心属性。对于标准正态分布，P(Z < -z) 等于 P(Z > z)，这大大简化了计算。

数学推导与公式

PDF公式
Z分数变换
累积分布函数（CDF）

概率密度函数（PDF）

正态分布的PDF公式为：f(x) = (1 / (σ √(2π))) e^(-(x - μ)² / (2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差，e为自然常数（≈2.718）。本计算器采用该公式计算特定点x的曲线高度。

Z分数公式

将任意正态分布的值标准化，使用：Z = (X - μ) / σ。这样得到的Z分数可用于标准正态分布（μ=0，σ=1）。

累积分布函数（CDF）

CDF（P(X ≤ x)）没有简单的闭式表达式，需通过对PDF积分计算。计算上通常用误差函数（erf）近似：Φ(z) = 0.5 * (1 + erf(z / √2))，其中z为Z分数。本计算器采用精确的数值方法计算该值。

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