正态近似计算器 - 二项分布与Z分数

什么是二项分布的正态近似？

离散与连续的桥梁
核心原理
何时适用近似？

二项分布的正态近似是一种统计方法，用于简化大量试验下概率的计算。二项分布是离散的，表示可计数的结果（如10次抛硬币出现5次正面）。而正态分布是连续的。当试验次数n较大时，直接计算二项概率会很繁琐，正态分布为概率估算提供了更简单的方式。

核心原理

随着二项试验次数n的增加，二项分布的形状会逐渐接近正态分布的钟形曲线。因此我们可以利用正态分布的性质（如均值、标准差和Z分数）来近似计算二项事件的概率。

何时适用近似？

该近似并非总是有效。常用的经验法则是：当np和n(1-p)都大于等于5时，近似较为准确（有些统计学家建议取10以获得更高精度）。n为试验次数，p为成功概率。如果不满足该条件，二项分布可能过于偏斜，正态近似不准确。

计算器使用步骤详解

输入数据
选择概率类型
解读结果

我们的计算器将流程简化为几个简单步骤。

输入数据

试验次数 (n)： 输入实验的总次数。
成功概率 (p)： 输入单次成功的概率（小数）。
成功次数 (x)： 输入关注的成功次数。

选择概率类型

使用下拉菜单选择要查找的概率类型：小于（<）、小于等于（≤）、等于（=）、大于（>）、大于等于（≥）或区间。

解读结果

计算器会给出估算概率、均值（μ）、标准差（σ）和Z分数，并提示近似是否有效（np ≥ 5 且 n(1-p) ≥ 5）。

常见误区与连续性修正因子

离散与连续的区别
为何需要修正？
修正如何应用

正态近似中常见的错误是忘记连续性修正因子。

离散与连续的区别

二项变量只能取整数（不能有2.5次正面），而正态变量可以为任意实数。当我们将连续曲线叠加在离散直方图上时，会出现小间隙。例如，二项概率P(X=10)由以10为中心的柱表示。要用连续曲线覆盖该区域，需计算9.5到10.5之间的面积。

为何需要修正？

连续性修正因子0.5用于更好地包含或排除离散整数值的面积。它弥合了离散二项计算与连续正态估算之间的差距，使结果更准确。

修正如何应用

对于P(X ≤ k)，用k + 0.5。
对于P(X < k)，用k - 0.5。
对于P(X ≥ k)，用k - 0.5。
对于P(X > k)，用k + 0.5。
对于P(X = k)，计算k - 0.5到k + 0.5之间的概率。

正态近似的实际应用

制造与质量控制
医学与生物研究
社会科学与民意调查

制造与质量控制

某公司每天生产数千个产品，并了解历史不良率。可用正态近似快速估算大批量中不良品超过某数量的概率，帮助决定是否需进一步检查。

医学与生物研究

研究人员在大样本人群中测试新药，可估算出现阳性反应人数落在某区间的概率，从而判断药物相较安慰剂的有效性。

社会科学与民意调查

政治调查员调查大量选民以评估候选人支持率。正态近似帮助他们判断真实支持率落在调查结果某个区间的概率，为调查准确性提供依据。

数学推导与公式

均值与标准差的计算
Z分数变换
由Z分数求概率

近似的精髓在于以下关键公式。

均值与标准差的计算

对于二项分布，均值和标准差作为正态近似分布的参数，计算公式为：

均值 (μ) = n * p
标准差 (σ) = √[n p (1 - p)]

Z分数变换

Z分数将结果标准化，表示（经连续性修正后）与均值相差多少个标准差。公式为： Z = (x' - μ) / σ 其中x'为修正后的x值。

由Z分数求概率

计算出Z分数后，可结合标准正态分布表（或计算函数）查找累积概率。例如P(X ≤ k)查找对应Z分数的累积概率，P(X > k)则用1减去累积概率。

计算示例

以n=100, p=0.2的二项分布，求P(X > 22)。
1. 检查有效性：np = 20, n(1-p) = 80，均≥5，有效。
2. 计算μ和σ：μ = 20, σ = √(100 * 0.2 * 0.8) = √16 = 4。
3. P(X > 22)连续性修正为P(X ≥ 23)，用x' = 22.5。
4. 计算Z分数：Z = (22.5 - 20) / 4 = 2.5 / 4 = 0.625。
5. 查概率：P(Z > 0.625) ≈ 1 - 0.734 = 0.266 或 26.6%。

公平硬币抛掷

不合格产品