指数分布

分布与统计模型

计算指数分布的概率和统计量。

示例

探索指数分布的一些常见场景。

灯泡寿命

标准案例

一个灯泡的平均寿命为 2000 小时。它至少能持续 2500 小时的概率是多少？

λ: 0.0005, x: 2500

类型:

客服来电

实际应用

客服来电的速率为每分钟 2 次。下一个来电在 30 秒（0.5 分钟）内到达的概率是多少？

λ: 2, x: 0.5

类型:

放射性衰变

科学场景

一个放射性粒子的衰变速率为 λ = 0.1 每秒。恰好在 5 秒时的概率密度是多少？

λ: 0.1, x: 5

类型:

公交到站

简单示例

公交车到站的时间间隔服从均值为 10 分钟的指数分布。下一班公交车超过 15 分钟到达的概率是多少？

λ: 0.1, x: 15

类型:

其他标题
理解指数分布
关键概率概念的综合指南

什么是指数分布？

  • 核心定义
  • 关键性质
  • 无记忆性
指数分布是一种连续概率分布，用于建模等待某一事件发生所需的时间。它常用于可靠性分析和排队论。该分布的一个关键参数是速率参数（λ），表示单位时间内事件的平均发生次数。
数学公式
概率密度函数（PDF）为 f(x; λ) = λe^(-λx)，x ≥ 0。累积分布函数（CDF）为 F(x; λ) = 1 - e^(-λx)。这些公式是所有相关计算的基础。

计算器使用分步指南

  • 输入参数
  • 选择计算类型
  • 解读结果
1. 输入速率参数（λ）
该值表示事件的平均发生速率。例如，如果一台机器平均每年故障 2 次，则 λ = 2。
2. 输入 x 的值
这是您感兴趣的具体时间或数值。例如，要计算机器在 6 个月（0.5 年）内故障的概率，x = 0.5。
3. 选择您的计算类型
从下拉菜单中选择所需概率：P(X < x)、P(X ≤ x)、P(X > x)、P(X ≥ x) 或 x 处的 PDF 值。
4. 分析输出结果
计算器会提供计算概率以及均值、中位数和方差等关键统计量，全面展示分布特性。

指数分布的实际应用

  • 可靠性工程
  • 排队论
  • 金融与保险
产品寿命
工程师使用指数分布预测电子元件的寿命。速率参数 λ 对应于失效率。
客户等待时间
企业对客户到达服务台或呼叫中心的时间间隔进行建模。这有助于资源分配和提升客户满意度。
金融建模
在金融领域，可用于建模大型市场冲击之间的时间或公司违约所需的时间。

常见误区与正确方法

  • 与泊松分布混淆
  • 无记忆性误解
  • 速率与均值
指数分布 vs. 泊松分布
泊松分布描述在固定区间内事件的数量，而指数分布描述这些事件之间的时间。两者相关但描述的是同一过程的不同方面。
理解无记忆性
无记忆性意味着事件在下一个区间发生的概率与已经过去的时间无关。对于一台已运行 100 小时未故障的机器，其在接下来 1 小时内故障的概率与新机器相同。这是一个独特且常被误解的特性。
速率（λ）与均值（1/λ）
速率参数和均值容易混淆。请记住，事件间的平均时间是速率的倒数（均值 = 1/λ）。速率高意味着事件发生频繁，事件间的平均时间较短。

数学推导与示例

  • 均值推导
  • 方差推导
  • 实例演算
均值推导
期望值或均值（E[X]）通过对 x * f(x) 从 0 积分到无穷大得到。分部积分后，E[X] = ∫[0, ∞] xλe^(-λx) dx，化简为 1/λ。
方差推导
方差（Var(X)）为 E[X²] - (E[X])²。首先，E[X²] = ∫[0, ∞] x²λe^(-λx) dx = 2/λ²。然后，Var(X) = (2/λ²) - (1/λ)² = 1/λ²。
示例：呼叫中心
呼叫中心的来电速率为 λ = 4 次/小时。我们想要计算下一个来电在 15 分钟（0.25 小时）内到达的概率。使用 CDF：P(X ≤ 0.25) = 1 - e^(-4 * 0.25) = 1 - e^(-1) ≈ 1 - 0.3679 = 0.6321。下一个来电在 15 分钟内到达的概率为 63.21%。