指数回归计算器 | 在线曲线拟合工具

什么是指数回归？

模型定义
'a' 和 'b' 系数
线性模型与指数模型

指数回归是一种统计方法，用于为给定数据点集找到‘最佳拟合’的指数模型（y = ab^x）。与建模直线关系的线性回归不同，指数回归适用于变化速率与当前值成正比、趋势线呈曲线的情形。

核心方程：y = ab^x

在该方程中，'y' 是因变量，'x' 是自变量，'a' 是初始值（x=0 时 y 的值），'b' 是增长或衰减因子。若 b > 1，表示指数增长；若 0 < b < 1，则为指数衰减。

适用场景

当数据的散点图呈现上升或下降且速率不断加快的曲线时，适合使用该模型。所有 y 值必须为正数，否则模型无法处理零或负值。

计算器使用分步指南

数据输入格式
结果解读
进行预测

1. 输入数据

将 (x, y) 数据对输入到“数据点”文本区域。每对一行，x 和 y 用空格或逗号分隔。例如：'2 150'。至少需要三个点才能进行有意义的回归。

2. 计算与分析

点击“计算”按钮。工具将输出回归方程（y = ab^x）、'a' 和 'b' 的具体数值以及决定系数 (R²)。

3. 理解 R²（决定系数）

R² 衡量指数模型对数据的拟合程度，取值范围为 0 到 1。越接近 1，拟合越好，说明模型能很好地解释数据的方差。例如，R²=0.95 表示模型解释了 y 变化的 95%。

4. 进行预测

要预测原始数据中未出现的特定 x 的 y 值，在预测字段中输入 x 值。计算器将用推导出的方程计算预测的 y。

指数回归的实际应用

生物学与流行病学
金融与经济学
物理与工程

指数回归不仅是学术练习，还能建模许多现实现象。

种群增长

生物学家用其建模细菌群体、细胞培养物或理想条件下动物种群的增长。

复利

在金融领域，获得复利的投资呈指数增长。该模型可预测此类投资的未来价值。

放射性衰变

物理学家用指数回归建模放射性同位素的衰变。“半衰期”概念直接源自指数衰减模型。

疾病传播

在疫情初期，感染人数常呈指数增长，流行病学家用该模型预测传播并制定干预措施。

数学推导与公式

模型线性化
系数计算
相关系数

求解 'a' 和 'b' 的核心技巧是将指数方程转化为线性方程，这一过程称为线性化。

1. 变换

从 y = ab^x 开始，对两边取自然对数（ln），得到：ln(y) = ln(a) + ln(b^x)，简化为 ln(y) = ln(a) + x * ln(b)。这是 Y = A + Bx 的线性方程，其中 Y = ln(y)，A = ln(a)，B = ln(b)。

2. 线性回归

现在对变换后的数据点 (x, ln(y)) 进行标准线性回归。斜率 (B) 和截距 (A) 的公式为：

斜率 (B) = (nΣ(xY) - ΣxΣY) / (nΣ(x²) - (Σx)²)

截距 (A) = 均值(Y) - B * 均值(x)

3. 反变换

计算出 A 和 B 后，反变换得到原始系数：a = e^A，b = e^B。

4. 决定系数 (R²)

R² 在线性化数据 (x, Y) 上计算，是 (x, Y) 对的皮尔逊相关系数 r 的平方，表示 Y 的方差中可由 x 预测的比例。

细菌种群增长

复利投资

放射性衰变

摩尔定律

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指数回归的实际应用

数学推导与公式