自由度计算器

假设检验与统计推断

选择您正在使用的统计检验以查找正确的自由度（DF）。

实际示例

查看常见统计检验的自由度计算方法。

单样本t检验

单样本t检验

研究者想知道某植物种的平均高度是否为50厘米。他们测量了30株植物。

样本量 (n): 30

双样本t检验

双样本t检验

比较两组学生的考试成绩：A组有25人，B组有28人。

样本1数量 (n₁): 25

样本2数量 (n₂): 28

卡方独立性检验

卡方独立性检验

一项研究考察投票倾向（3类）与年龄组（4类）之间的关系。

行数 (r): 3

列数 (c): 4

方差分析（ANOVA）

方差分析（ANOVA）

实验测试4种不同肥料对作物产量的影响。每种肥料有10株植物，总共40个观测。

类别数 (k): 4

总观测数 (N): 40

其他标题
理解自由度：全面指南
深入探讨统计学最基本的概念之一，解释其工作原理及其对准确假设检验的重要性。

什么是自由度？

  • 核心概念
  • 直观类比
  • 自由度在统计中的意义
在统计学中，自由度（df）表示统计量最终计算中可以自由变化的数值个数。本质上，它是可用于估计另一信息的独立信息量。该概念是许多统计检验的基础，因为它有助于确定在评估结果时应使用的正确概率分布。
核心概念
可以将自由度看作数据的‘预算’。当您从样本中估计一个参数（如样本均值）时，会消耗一个自由度。剩余的自由度是可用于后续计算（如估计数据围绕均值的变异性）的独立数据点数量。
直观类比
假设你有7顶帽子，每周每天都要戴一顶。周一你有7种选择，周二有6种，以此类推。到周六只剩2种选择，周日你别无选择——只能戴剩下的那顶。你有6天的‘自由’选择。在这个类比中，自由度为6（n-1）。这种由其他值决定的数值正是理解统计学中自由度的核心。
自由度在统计中的意义
自由度的数量直接影响各种概率分布的形状，如t分布和卡方分布。较低的自由度会导致分布‘尾部更重’，即极端值更可能出现。随着自由度增加，这些分布趋于正态分布。使用正确的自由度对于查找正确的p值和做出正确的统计结论至关重要。

计算器使用分步指南

  • 选择正确的检验
  • 输入数据
  • 解读结果
我们的计算器简化了各种检验的自由度查找。请按照以下步骤获得准确结果。
1. 选择统计检验
使用下拉菜单选择您正在进行的统计检验。这是最关键的一步，因为自由度公式会根据检验类型变化。选项包括t检验、卡方检验、方差分析和线性回归。
2. 输入数据
选择检验后，会出现特定输入字段。例如，单样本t检验会要求输入样本量（n），而卡方独立性检验会要求输入列联表的行数（r）和列数（c）。请用正整数填写所有必填项。
3. 计算与解读
点击‘计算’按钮。工具会显示计算出的自由度和所用公式。该结果可用于查找统计表中的临界值或在报告中引用。

自由度的实际应用

  • 医学研究
  • 制造业质量控制
  • 社会科学
自由度不仅是理论概念，在各领域日常用于数据驱动决策。
医学研究
比较新药与安慰剂时，研究者使用双样本t检验。自由度由每组患者数量（n₁和n₂）计算，对于判断药物效果是否显著至关重要。
制造业质量控制
工厂可能用单样本t检验检查产品批次是否达标。自由度（n-1）有助于判断观测变异是否在可接受范围内，或工艺是否需调整。
社会科学
社会学家用卡方独立性检验考察两个分类变量（如教育水平与收入等级）之间的关系。自由度由每个变量的类别数决定，是解读卡方统计量和判断关系是否存在的关键。

常见公式及推导

  • 单样本t检验: df = n - 1
  • 双样本t检验: df = n₁ + n₂ - 2
  • 卡方检验: df = (r - 1)(c - 1)
自由度公式完全取决于所做的统计检验。以下是最常见的几种。
单样本t检验: df = n - 1
计算样本均值时，使用了所有n个数据点的信息。随后计算样本标准差时，测量的是数据围绕该均值的变异性。由于偏差和为零，前n-1个数据点可以任意取值，最后一个被前面的值所决定。因此，只有n-1个值可以自由变化。
双样本t检验（独立，方差齐性）: df = n₁ + n₂ - 2
该检验需估计两个参数：第一组均值（μ₁）和第二组均值（μ₂）。每个估计‘消耗’一个自由度。总共有n₁+n₂个数据点，每组均值各减去一个自由度，剩下(n₁-1)+(n₂-1)=n₁+n₂-2个自由度用于估计合并方差。
卡方独立性检验: df = (r - 1)(c - 1)
对于r行c列的列联表，行和列的合计被视为固定。如果已知某列的r-1个单元格值，最后一个由总和决定。行同理。这样，真正可以自由变化的单元格数为(r-1)*(c-1)。

进阶话题：Welch不等方差t检验

  • 何时使用Welch检验
  • Welch-Satterthwaite公式
  • 为何自由度常为小数
标准双样本t检验假设两组方差相等。当该假设不成立时，应使用更稳健的Welch t检验，其自由度公式更复杂。
何时使用Welch检验
当两组样本方差差异较大时，应考虑使用Welch t检验。许多统计学家建议默认使用Welch检验，因为当方差相等时其表现与标准t检验相同，而方差不等时表现更好。
Welch-Satterthwaite公式
Welch检验的自由度用Welch-Satterthwaite公式近似。公式为：df ≈ (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² / [ (s₁²/n₁)²/(n₁-1) + (s₂²/n₂)²/(n₂-1) ]。本计算器未直接计算该值，但这是不等方差检验的原理。
为何自由度常为小数
与其他df公式不同，Welch-Satterthwaite公式将方差和样本量组合成比值，结果通常不是整数。报告时常取整或保留小数。所得df介于较小的n₁-1和n₂-1与n₁+n₂-2之间。