组合与排列的数学基础不仅限于基本计数，还包括高级概率论、生成函数和现代数学与计算机科学中的复杂解题技巧。
数学推导：
排列推导：P(n,r) = n!/(n-r)! 源自乘法原理。第一个位置有 n 种选择，第二个有 n-1 种，依此类推到第 r 个位置，共 n × (n-1) × ... × (n-r+1) = n!/(n-r)!。
组合推导：C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)，因每组 r 个项目可有 r! 种排列。P(n,r) 计数所有排列，C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/(r!(n-r)!)。
二项式定理联系：(x+y)^n = Σ C(n,k)x^(n-k)y^k，组合数自然出现在代数表达式中，连接离散与连续数学。
高级组合概念：
- 多项式系数：同时分组不同规模，n!/(n₁!n₂!...nₖ!) 推广了组合到多类别。
- 斯特林数：计数将 n 个对象分成 k 个非空子集（第二类斯特林数）或排成 k 个环（第一类斯特林数）。
- 卡特兰数：C_n = C(2n,n)/(n+1) 计数二叉树、括号化和格路径等结构，计算机科学中常见。
概率论结合：
- 超几何分布：用组合建模无放回抽样：P(X=k) = C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n)，从 N 个中抽 n 个含 K 个成功。
- 二项分布：n 次试验恰好 k 次成功的概率 P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，直接用组合公式。
- 负二项分布：推广二项分布，计数达到固定成功次数所需试验数，概率质量函数用到组合。
计算注意事项：
- 防止溢出：大数用对数计算：log(C(n,r)) = log(n!) - log(r!) - log((n-r)!)，阶乘用对数和。
- 迭代计算：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r) 可用帕斯卡三角形和动态规划高效计算。
- 近似方法：n 大 r 适中时，斯特林公式 ln(n!) ≈ n ln(n) - n 可作近似。