简谐运动计算器 | 计算周期、频率等

什么是简谐运动(SHM)？

定义核心概念
SHM的关键特征
恢复力

简谐运动(SHM)是一种特殊的周期性运动或振荡，其中恢复力与位移成正比，并作用在位移相反的方向上。简单来说，它是通过平衡（或中心）位置的来回运动，其中一侧的最大位移等于另一侧的最大位移。每次完整振动的时间间隔是恒定的。

SHM的关键特征

1. 周期 (T): 完成一次完整振荡所需的时间。以秒(s)为单位测量。
2. 频率 (f): 单位时间内完成的振荡次数。它是周期的倒数(f = 1/T)，以赫兹(Hz)为单位测量。
3. 振幅 (A): 从平衡位置的最大位移。它是振荡强度的度量。
4. 角频率 (ω): 旋转速度的度量，以弧度每秒(rad/s)表示。它与频率的关系为ω = 2πf。

恢复力

SHM的定义特征是恢复力，由胡克定律描述：F = -kx，其中'F'是恢复力，'k'是正常数（如弹簧常数），'x'是相对于平衡的位移。负号表示力总是作用在将系统拉回或推回其平衡位置的方向上。

概念示例

秋千上的孩子（小角度时近似SHM）。
在弹簧上上下摆动的质量。
音叉的振动。

使用SHM计算器的分步指南

选择计算和系统类型
输入参数
解释结果

1. 选择您的目标

首先从'计算类型'下拉菜单中选择您想要计算的内容。您可以求解基本属性（'周期和频率'）或系统在特定时刻的状态（'运动参数'）。

2. 定义您的系统

接下来，告诉计算器您正在分析哪个物理系统。如果您的问题涉及质量和弹簧，请选择'质量-弹簧系统'，或者对于从绳子摆动的质量，选择'单摆'。所需的输入字段将根据此选择而变化。

3. 提供已知值

用问题中的数据填写输入字段。确保使用指定的正确单位（例如，米、千克、秒）。忘记必填字段将触发验证错误。例如，要找到弹簧系统的周期，您必须提供质量和弹簧常数。

4. 计算和分析

点击'计算'按钮。结果将出现在下方，显示计算值及其对应单位。如果您选择计算运动参数，您将看到指定时间't'的位置、速度和加速度。

使用场景

学生为实验报告计算摆的周期。
工程师设计减震器（阻尼振荡器的一种形式）。
物理学家建模分子的振动。

数学推导和公式

质量-弹簧系统的方程
单摆的方程
一般运动方程

质量-弹簧系统公式

对于弹簧常数为(k)的质量(m)：
- 角频率：ω = √(k / m)
- 周期：T = 2π / ω = 2π √(m / k)
- 频率：f = 1 / T = (1 / 2π) √(k / m)

单摆公式（小角度近似）

对于重力(g)下的摆长(L)：
- 角频率：ω = √(g / L)
- 周期：T = 2π / ω = 2π √(L / g)
- 频率：f = 1 / T = (1 / 2π) √(g / L)

一般运动方程

给定振幅(A)、角频率(ω)和相位角(φ)：
- t时刻的位置：x(t) = A cos(ωt + φ)
- t时刻的速度：v(t) = -Aω * sin(ωt + φ)
- t时刻的加速度：a(t) = -Aω² cos(ωt + φ)
- 最大速度：vmax = Aω
- 最大加速度：amax = Aω²

公式应用

如果m=1kg且k=100 N/m，则T = 2π * √(1/100) ≈ 0.628 s。
如果L=9.81m在地球上(g=9.81 m/s²)，则T = 2π * √(9.81/9.81) = 2π ≈ 6.28 s。

质量-弹簧系统周期

地球上的摆